Номер 16, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. На рисунке 43 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 43

a

Углы: $\angle CBD = 40^\circ$, $\angle ADB = 45^\circ$.

б

Длины отрезков диагоналей: $8, 7, 6, 7$.

в

Углы: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 130^\circ$.

16. На рисунке 43 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 43

а
На рисунке а) изображен параллелограмм ABCD с углами: $\angle CBD = 40^\circ$, $\angle BDA = 45^\circ$.

б
На рисунке б) изображен параллелограмм ABCD с диагоналями, разделенными на отрезки: 7, 6, 8, 7.

в
На рисунке в) изображен параллелограмм ABCD с углами: $\angle DAB = 40^\circ$, $\angle CBA = 130^\circ$.

а) В любом параллелограмме противоположные стороны параллельны. В данном случае сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы при секущей должны быть равны. Это углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$. На рисунке их величины равны $40^\circ$ и $45^\circ$. Поскольку $40^\circ \neq 45^\circ$, эти углы не равны, что противоречит свойствам параллелограмма.
Ответ: величины углов обозначены неверно.

б) По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. На рисунке изображены диагонали $AC$ и $BD$. Диагональ $AC$ разделена на отрезки длиной 8 см и 6 см. Так как $8 \neq 6$, эта диагональ не делится точкой пересечения пополам. Это противоречит свойству диагоналей параллелограмма. (Заметим, что для диагонали $BD$ свойство выполняется, так как $7 = 7$, но для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, свойство должно выполняться для обеих диагоналей).
Ответ: длины отрезков обозначены неверно.

в) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются соседними, так как прилежат к стороне $AB$. Найдем их сумму согласно данным на рисунке: $40^\circ + 130^\circ = 170^\circ$. Полученная сумма не равна $180^\circ$ ($170^\circ \neq 180^\circ$), что противоречит свойствам параллелограмма.
Ответ: величины углов обозначены неверно.