Номер 11, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 42) $ \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 $. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 42) $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 42

Для доказательства того, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, необходимо доказать, что его противоположные стороны попарно параллельны, то есть $AD \| BC$ и $AB \| DC$.

1. Рассмотрим параллельность сторон $AD$ и $BC$.

Углы $\angle 2$ и $\angle ABC$ являются смежными, так как они лежат на одной прямой и имеют общую сторону. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:
$\angle ABC + \angle 2 = 180^\circ$

По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$. Заменим в равенстве $\angle 2$ на равный ему $\angle 1$:
$\angle ABC + \angle 1 = 180^\circ$

Углы $\angle 1$ (он же $\angle DAB$) и $\angle ABC$ являются внутренними односторонними углами при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как их сумма равна $180^\circ$, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны: $AD \| BC$.

2. Рассмотрим параллельность сторон $AB$ и $DC$.

По условию задачи $\angle 1 = \angle 3$.

Угол $\angle 1$ (он же $\angle DAB$) и угол $\angle 3$ являются соответственными углами при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AD$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AB$ и $DC$ параллельны: $AB \| DC$.

3. Заключение.

Мы доказали, что в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AD \| BC$ и $AB \| DC$). Согласно определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.