Номер 4, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) 7, 8, 10 и 11;

2) 4, 5, 7 и 20.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) 7, 8, 10 и 11;

2) 4, 5, 7 и 20.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда углы четырёхугольника можно выразить через этот коэффициент и заданные числа.

1) Углы пропорциональны числам 7, 8, 10 и 11.

Пусть углы четырёхугольника равны $7x$, $8x$, $10x$ и $11x$.
Составим и решим уравнение, используя свойство о сумме углов четырёхугольника:
$7x + 8x + 10x + 11x = 360^\circ$
$(7 + 8 + 10 + 11)x = 360^\circ$
$36x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{36}$
$x = 10^\circ$

Теперь найдём градусную меру каждого угла:
Первый угол: $7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$
Второй угол: $8 \cdot 10^\circ = 80^\circ$
Третий угол: $10 \cdot 10^\circ = 100^\circ$
Четвёртый угол: $11 \cdot 10^\circ = 110^\circ$

Четырёхугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. В нашем случае все найденные углы ($70^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 110^\circ$) меньше $180^\circ$. Следовательно, этот четырёхугольник является выпуклым.

Ответ: углы равны $70^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 110^\circ$; четырёхугольник является выпуклым.

2) Углы пропорциональны числам 4, 5, 7 и 20.

Пусть углы четырёхугольника равны $4x$, $5x$, $7x$ и $20x$.
Составим и решим уравнение:
$4x + 5x + 7x + 20x = 360^\circ$
$(4 + 5 + 7 + 20)x = 360^\circ$
$36x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{36}$
$x = 10^\circ$

Теперь найдём градусную меру каждого угла:
Первый угол: $4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$
Второй угол: $5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$
Третий угол: $7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$
Четвёртый угол: $20 \cdot 10^\circ = 200^\circ$

Четырёхугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. Один из углов равен $200^\circ$, что больше $180^\circ$. Следовательно, этот четырёхугольник не является выпуклым (он вогнутый).

Ответ: углы равны $40^\circ, 50^\circ, 70^\circ, 200^\circ$; четырёхугольник не является выпуклым.