Номер 274, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим ее боковую сторону как $c$. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Длина боковой стороны равна сумме длин этих отрезков:$c = 3 + 12 = 15$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ – радиус окружности. Чтобы найти радиус, рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной $AB$ и отрезками $AO$ и $BO$, соединяющими центр вписанной окружности $O$ с вершинами $A$ и $B$. Так как $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов, прилежащих к боковой стороне, сумма которых $180^\circ$, треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB=90^\circ$). Радиус $OK$, проведенный в точку касания $K$, перпендикулярен стороне $AB$ и является высотой этого прямоугольного треугольника. Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.Следовательно:$r^2 = 3 \cdot 12 = 36$.$r = \sqrt{36} = 6$ см.Тогда высота трапеции равна:$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает:$a + b = c + c = 2c$.Найдем сумму оснований:$a + b = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.Подставим найденные значения суммы оснований и высоты:$S = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см$^2$.

Ответ: $180$ см$^2$.