Номер 270, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 7 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 7 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям ($AB \perp AD$ и $AB \perp BC$). Таким образом, углы $\angle A$ и $\angle B$ являются прямыми и равны $90^\circ$.

По условию, основания трапеции равны 8 см и 7 см. Пусть большее основание $AD = 8$ см, а меньшее основание $BC = 7$ см.

В трапеции есть две диагонали: $AC$ и $BD$. Найдем, какая из них меньшая. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$.

По теореме Пифагора:

• В $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + 8^2 = AB^2 + 64$.
• В $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 7^2 = AB^2 + 49$.

Так как $49 < 64$, то $AC^2 < BD^2$, и, следовательно, $AC < BD$. Значит, меньшая диагональ трапеции — это $AC$.

По условию задачи, меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла. Диагональ $AC$ выходит из вершины $A$, где угол прямой. Следовательно, $AC$ — биссектриса угла $A$.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle BAC = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Поскольку $\angle CAD = 45^\circ$, то и $\angle BCA = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы знаем, что:

• $\angle B = 90^\circ$ (так как трапеция прямоугольная).
• $\angle BAC = 45^\circ$.
• $\angle BCA = 45^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ABC$ равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AB = BC$.

Так как $BC = 7$ см, то и $AB = 7$ см. Сторона $AB$ является высотой трапеции, то есть $h = 7$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим наши значения:

$a = AD = 8$ см

$b = BC = 7$ см

$h = AB = 7$ см

$S = \frac{8 + 7}{2} \cdot 7 = \frac{15}{2} \cdot 7 = 7.5 \cdot 7 = 52.5$ см$^2$.

Ответ: $52.5$ см$^2$.