Номер 276, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия равна 8 см.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия равна 8 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $m$ — средняя линия, $h$ — высота, а $S$ — площадь.

1. Формула площади и средней линии трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$m = \frac{AD+BC}{2}$

Из этих двух формул следует, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

$S = m \cdot h$

По условию, средняя линия $m = 8$ см. Таким образом, для нахождения площади нам необходимо найти высоту трапеции $h$.

2. Свойства равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями.

Рассмотрим свойство высоты такой трапеции. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (как части оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $DE = BC$ и $CE = BD$.

Рассмотрим треугольник $ACE$.

• Его основание $AE = AD + DE = AD + BC$.
• Так как трапеция равнобокая, ее диагонали равны: $AC = BD$. Из построения мы знаем, что $CE = BD$, следовательно, $AC = CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ — равнобедренный.
• Угол между диагоналями трапеции $AC$ и $BD$ равен $90^\circ$ по условию. Угол $ACE$ равен углу между прямыми $AC$ и $CE$. Так как $CE \parallel BD$, то угол $ACE$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$, то есть $\angle ACE = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ACE$ является равнобедренным и прямоугольным.

3. Нахождение высоты.

Высота трапеции $h$ (проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$) является также высотой треугольника $ACE$, проведенной из вершины $C$ к основанию $AE$.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, если этот треугольник равнобедренный. Высота $h$ является медианой и высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $ACE$. Следовательно:

$h = \frac{AE}{2}$

Подставим значение $AE$:

$h = \frac{AD+BC}{2}$

Мы видим, что высота такой трапеции равна ее средней линии:

$h = m$

Поскольку по условию $m = 8$ см, то и высота $h = 8$ см.

4. Вычисление площади.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = m \cdot h = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$

Ответ: $64 \text{ см}^2$.