Номер 5, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы и со сторонами $DA$ и $DC$ также равные углы. Найдите $\angle BAD$, если $\angle BCD = 108^{\circ}$.

5. В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы и со сторонами $DA$ и $DC$ также равные углы. Найдите $\angle BAD$, если $\angle BCD = 108^{\circ}$.

Рассмотрим два треугольника $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $, которые образуются в результате деления четырёхугольника $ ABCD $ диагональю $ BD $.

Согласно условию задачи, диагональ $ BD $ образует со сторонами $ BA $ и $ BC $ равные углы. Это можно записать как $ \angle ABD = \angle CBD $.

Также по условию, диагональ $ BD $ образует равные углы со сторонами $ DA $ и $ DC $, что означает $ \angle ADB = \angle CDB $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $. У них:

1. $ \angle ABD = \angle CBD $ (по условию).

2. $ \angle ADB = \angle CDB $ (по условию).

3. Сторона $ BD $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABD $ равен треугольнику $ \triangle CBD $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, или УСУ).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы (стороны и углы) равны. Угол $ \angle BAD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ находится напротив общей стороны $ BD $, так же как и угол $ \angle BCD $ в треугольнике $ \triangle CBD $. Следовательно, эти углы равны:

$ \angle BAD = \angle BCD $.

В условии задачи дано, что $ \angle BCD = 108^\circ $.

Значит, $ \angle BAD = 108^\circ $.

Ответ: $108^\circ$