Номер 3, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $A$ равен $106^\circ$, а угол $B$ на $34^\circ$ меньше угла $C$ и в 2 раза больше угла $D$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $A$ равен $106^\circ$, а угол $B$ на $34^\circ$ меньше угла $C$ и в 2 раза больше угла $D$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Обозначим углы четырехугольника $ABCD$ как $\angle A, \angle B, \angle C$ и $\angle D$. Таким образом, мы имеем основное уравнение:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Из условия задачи нам дано:

• $\angle A = 106^\circ$
• Угол $B$ на $34^\circ$ меньше угла $C$, что можно записать как $\angle B = \angle C - 34^\circ$.
• Угол $B$ в 2 раза больше угла $D$, что можно записать как $\angle B = 2 \cdot \angle D$.

Наша задача — найти углы $\angle B, \angle C$ и $\angle D$. Для этого выразим углы $\angle C$ и $\angle D$ через угол $\angle B$.

Из соотношения $\angle B = \angle C - 34^\circ$ следует, что $\angle C = \angle B + 34^\circ$.

Из соотношения $\angle B = 2 \cdot \angle D$ следует, что $\angle D = \frac{\angle B}{2}$.

Теперь подставим все выражения в основное уравнение суммы углов:

$106^\circ + \angle B + (\angle B + 34^\circ) + \frac{\angle B}{2} = 360^\circ$

Сгруппируем слагаемые и решим уравнение относительно $\angle B$:

$106^\circ + 34^\circ + \angle B + \angle B + \frac{\angle B}{2} = 360^\circ$
$140^\circ + 2\angle B + 0.5\angle B = 360^\circ$
$140^\circ + 2.5\angle B = 360^\circ$

Выразим $2.5\angle B$:

$2.5\angle B = 360^\circ - 140^\circ$
$2.5\angle B = 220^\circ$

Теперь найдем значение $\angle B$:

$\angle B = \frac{220^\circ}{2.5} = \frac{2200^\circ}{25} = 88^\circ$

Зная величину угла $B$, мы можем вычислить остальные неизвестные углы:

$\angle C = \angle B + 34^\circ = 88^\circ + 34^\circ = 122^\circ$

$\angle D = \frac{\angle B}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ$

Для проверки убедимся, что сумма всех углов равна $360^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 106^\circ + 88^\circ + 122^\circ + 44^\circ = 194^\circ + 166^\circ = 360^\circ$.
Проверка пройдена успешно.

Ответ: $\angle B = 88^\circ$, $\angle C = 122^\circ$, $\angle D = 44^\circ$.