Номер 273, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $45^\circ$.

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 6 см и 8 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $45^\circ$.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, большее основание $AD = 8$ см, меньшее основание $BC = 6$ см. Углы при большем основании равны $\angle A = 30^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершин B и C перпендикуляры BE и CF к основанию AD. Таким образом, $BE = CF = h$. Фигура BCFE является прямоугольником, поэтому $EF = BC = 6$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AE + EF + FD$. Подставив известные значения, получим:$8 = AE + 6 + FD$$AE + FD = 8 - 6 = 2$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотами: $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$.

1. В прямоугольном треугольнике ABE (с $\angle A = 30^\circ$):Отношение катетов связано через тангенс угла: $\tan(\angle A) = \frac{BE}{AE}$.$\tan(30^\circ) = \frac{h}{AE}$Отсюда выразим AE: $AE = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

2. В прямоугольном треугольнике CFD (с $\angle D = 45^\circ$):Аналогично, $\tan(\angle D) = \frac{CF}{FD}$.$\tan(45^\circ) = \frac{h}{FD}$Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $FD = h$.

Теперь подставим полученные выражения для AE и FD в уравнение $AE + FD = 2$:$h\sqrt{3} + h = 2$Вынесем $h$ за скобки:$h(\sqrt{3} + 1) = 2$Найдем высоту $h$:$h = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+6}{2} \cdot (\sqrt{3} - 1) = \frac{14}{2} \cdot (\sqrt{3} - 1) = 7(\sqrt{3} - 1)$ см².

Ответ: $7(\sqrt{3} - 1)$ см².