Номер 272, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 10 см, а разность боковых сторон — 2 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ равна 30 см.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 10 см, а разность боковых сторон — 2 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ равна 30 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота). CD — вторая, наклонная боковая сторона.

Введем следующие обозначения:

• $a = AD$ — большее основание
• $b = BC$ — меньшее основание
• $h = AB$ — высота
• $c = CD$ — наклонная боковая сторона

Согласно условию задачи:

• Разность оснований: $a - b = 10$ см
• Разность боковых сторон: $c - h = 2$ см, откуда $c = h + 2$
• Большая диагональ $d_1 = BD = 30$ см

Решение:

1. Проведем высоту CE из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник CED.
В прямоугольнике ABCE стороны $AB = CE = h$ и $BC = AE = b$.
Катет ED треугольника CED равен разности оснований: $ED = AD - AE = a - b = 10$ см.
Гипотенуза треугольника CED - это сторона $CD = c = h + 2$ см.

2. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику CED ($CE^2 + ED^2 = CD^2$):
$h^2 + 10^2 = (h + 2)^2$
$h^2 + 100 = h^2 + 4h + 4$
$100 - 4 = 4h$
$96 = 4h$
$h = 24$ см.
Таким образом, высота трапеции $AB = 24$ см.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Его катеты — это высота $AB = h = 24$ см и большее основание $AD = a$. Гипотенуза — это большая диагональ $BD = 30$ см.
Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD ($AB^2 + AD^2 = BD^2$):
$24^2 + a^2 = 30^2$
$576 + a^2 = 900$
$a^2 = 900 - 576$
$a^2 = 324$
$a = \sqrt{324}$
$a = 18$ см.
Большее основание $AD = 18$ см.

4. Найдем меньшее основание $b$, используя известную разность оснований:
$b = a - 10 = 18 - 10 = 8$ см.
Меньшее основание $BC = 8$ см.

5. Теперь, зная оба основания и высоту, можем найти площадь трапеции по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
$S = \frac{18 + 8}{2} \cdot 24$
$S = \frac{26}{2} \cdot 24$
$S = 13 \cdot 24$
$S = 312$ см².

Ответ: 312 см².