Номер 269, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 41 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 41

AB = 8, $\angle A = 45^\circ$, AD = 16, CD = 6.

$\angle A = 90^\circ$, CD = 8, $\angle D = 30^\circ$, AD = $6\sqrt{3}$.

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 41 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 41

a

Вершины: A, B, C, D

Угол A: $45^\circ$

Сторона AB: 8

Сторона CD: 6

Сторона AD: 16

б

Вершины: A, B, C, D

Угол A: $90^\circ$

Сторона CD: 8

Угол D: $30^\circ$

Сторона AD: $6\sqrt{3}$

а

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

1. Проведём высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Высота трапеции $h = BH = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол $\angle A = 45^\circ$, гипотенуза $AB = 8$ см. Найдём высоту BH и катет AH:

$h = BH = AB \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

$AH = AB \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. Гипотенуза $CD = 6$ см, катет $CK = h = 4\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора найдём катет KD:

$KD = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 32} = \sqrt{4} = 2$ см.

4. Длина большего основания AD складывается из отрезков AH, HK и KD: $AD = AH + HK + KD$. Четырёхугольник BCKH является прямоугольником, поэтому $BC = HK$. Найдём длину меньшего основания BC:

$BC = HK = AD - AH - KD = 16 - 4\sqrt{2} - 2 = 14 - 4\sqrt{2}$ см.

5. Вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{16 + (14 - 4\sqrt{2})}{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{30 - 4\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{2} = (15 - 2\sqrt{2}) \cdot 4\sqrt{2} = 60\sqrt{2} - 16$ см².

Ответ: $60\sqrt{2} - 16$ см².

б

Данная трапеция ABCD является прямоугольной, так как $\angle A = 90^\circ$. Её высота $h$ равна стороне AB.

1. Проведём высоту CK из вершины C на основание AD. Так как трапеция прямоугольная, $h = AB = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. Угол $\angle D = 30^\circ$, гипотенуза $CD = 8$ см. Найдём высоту CK (которая является катетом, противолежащим углу 30°) и катет KD:

$h = CK = CD \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$KD = CD \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Большее основание $AD = 6\sqrt{3}$ см. Четырёхугольник ABCK является прямоугольником, поэтому $BC = AK$. Найдём длину меньшего основания BC:

$BC = AK = AD - KD = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

4. Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².