Номер 262, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $2 : 1$.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $2 : 1$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести прямую через одну из его вершин, например, вершину $B$, так, чтобы она разделила треугольник на два других треугольника, площади которых относятся как 2:1.

Искомая прямая, проходящая через вершину $B$, пересечет противоположную сторону $AC$ в некоторой точке $D$. Эта прямая разделит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$.

Площадь $\triangle ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$.
Площадь $\triangle BDC$ равна $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BH$.

Найдем отношение площадей этих треугольников: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot BH} = \frac{AD}{DC} $$ Как видно из формулы, отношение площадей двух треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований.

По условию задачи, отношение площадей должно быть равно 2:1. Следовательно, отношение оснований также должно быть 2:1: $$ \frac{AD}{DC} = \frac{2}{1} $$

Это означает, что точка $D$ должна делить сторону $AC$ в отношении 2:1. Чтобы найти такую точку, нужно разделить отрезок $AC$ на $2+1=3$ равные части. Точка $D$ будет расположена так, что один из отрезков ($AD$ или $DC$) будет состоять из двух таких частей, а другой — из одной.

Таким образом, для решения задачи необходимо выбрать любую вершину треугольника, а противолежащую ей сторону разделить на три равные части. Прямая, проведенная из выбранной вершины к одной из точек деления (которая не является вершиной треугольника), и будет искомой.

Ответ: Чтобы разделить треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 2:1, необходимо провести прямую из любой вершины треугольника к точке на противоположной стороне, которая делит эту сторону в отношении 2:1. Для этого следует разделить противоположную сторону на три равные части и соединить вершину с одной из двух точек деления. В зависимости от выбора точки, отношение площадей полученных треугольников будет 2:1 или 1:2.