Номер 260, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Точка $D$ делит медиану $AM$ треугольника $ABC$ в отношении 3 : 4, считая от точки $A$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $CDM$ и $ABM$;

2) $ACD$ и $ABC$.

260. Точка $D$ делит медиану $AM$ треугольника $ABC$ в отношении $3:4$, считая от точки $A$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $CDM$ и $ABM$;

2) $ACD$ и $ABC$.

Пусть $S$ - площадь треугольника $ABC$. Поскольку $AM$ — медиана треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника равной площади (равновеликих), так как у них общее основание $AM$ и равные высоты из вершин $B$ и $C$. Таким образом: $S_{ABM} = S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

По условию, точка $D$ делит медиану $AM$ в отношении $AD : DM = 3 : 4$. Пусть $AD = 3x$, тогда $DM = 4x$. Вся медиана $AM = AD + DM = 3x + 4x = 7x$. Отсюда получаем отношения отрезков к целой медиане: $\frac{AD}{AM} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$ $\frac{DM}{AM} = \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7}$

Рассмотрим треугольники $CDM$ и $AMC$. У них общая вершина $C$, а их основания $DM$ и $AM$ лежат на одной прямой. Следовательно, они имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AM$. Отношение площадей таких треугольников равно отношению их оснований: $\frac{S_{CDM}}{S_{AMC}} = \frac{DM}{AM} = \frac{4}{7}$.

Из этого следует, что $S_{CDM} = \frac{4}{7} S_{AMC}$. Мы знаем, что $S_{AMC} = S_{ABM}$. Подставим это в предыдущее равенство: $S_{CDM} = \frac{4}{7} S_{ABM}$. Тогда искомое отношение площадей: $\frac{S_{CDM}}{S_{ABM}} = \frac{4}{7}$.
Ответ: 4 : 7

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $AMC$. Аналогично предыдущему пункту, у них общая высота из вершины $C$ к прямой $AM$. Отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{ACD}}{S_{AMC}} = \frac{AD}{AM} = \frac{3}{7}$.

Отсюда $S_{ACD} = \frac{3}{7} S_{AMC}$. Так как $AM$ — медиана, то $S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$. Подставим это выражение в формулу для $S_{ACD}$: $S_{ACD} = \frac{3}{7} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{3}{14} S_{ABC}$. Следовательно, искомое отношение площадей: $\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \frac{3}{14}$.
Ответ: 3 : 14