Номер 254, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.

Обозначим сторону ромба как $a$, а его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи дано: сторона ромба $a = 25$ см и разность диагоналей $d_1 - d_2 = 10$ см (где $d_1$ — большая диагональ).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому сторона ромба ($a$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$).

По теореме Пифагора имеем:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 25$:

$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 25^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 625$

$d_1^2 + d_2^2 = 2500$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} d_1 - d_2 = 10 \\ d_1^2 + d_2^2 = 2500 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $d_1$ через $d_2$:

$d_1 = 10 + d_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(10 + d_2)^2 + d_2^2 = 2500$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100 + 20d_2 + d_2^2 + d_2^2 = 2500$

$2d_2^2 + 20d_2 + 100 - 2500 = 0$

$2d_2^2 + 20d_2 - 2400 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы его упростить:

$d_2^2 + 10d_2 - 1200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 = 70^2$

Найдем корни уравнения:

$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 70}{2}$

Так как длина диагонали является положительной величиной, нас интересует только положительный корень:

$d_2 = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь найдем длину большей диагонали $d_1$:

$d_1 = 10 + d_2 = 10 + 30 = 40$ см.

Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим найденные значения $d_1$ и $d_2$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 20 \cdot 30 = 600$ см².

Ответ: 600 см².