Номер 249, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Высота $AD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 5$ см и $DC = 8$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

249. Высота $AD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 5 \text{ см}$ и $DC = 8 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, причем равные стороны $AB$ и $BC$, то есть $AB = BC$. Высота $AD$ проведена к стороне $BC$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ и делит ее на отрезки $BD = 5 \text{ см}$ и $DC = 8 \text{ см}$.

Найдем длину стороны $BC$, к которой проведена высота. Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $BD$ и $DC$:

$BC = BD + DC = 5 \text{ см} + 8 \text{ см} = 13 \text{ см}$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = BC$, то длина стороны $AB$ также равна $13 \text{ см}$:

$AB = 13 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как $AD$ — высота к стороне $BC$, то угол $\angle ADB$ — прямой ($90^\circ$). Следовательно, треугольник $ADB$ является прямоугольным. В этом треугольнике $AB$ — гипотенуза, а $AD$ и $BD$ — катеты. Применим теорему Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

Выразим из этого уравнения катет $AD$, который является высотой треугольника $ABC$:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

Подставим известные значения длин сторон $AB$ и $BD$:

$AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$AD = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$, используя формулу площади: половина произведения основания на высоту. В качестве основания возьмем сторону $BC$, а в качестве высоты — проведенную к ней высоту $AD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$

Подставим найденные значения $BC$ и $AD$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 = 13 \cdot 6 = 78 \text{ см}^2$.

Ответ: $78 \text{ см}^2$.