Номер 246, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 39, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 39

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 39, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 39

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с длиной стороны клетки равной единице, можно воспользоваться методом достраивания до прямоугольника. Этот метод заключается в том, чтобы описать вокруг треугольника прямоугольник, найти его площадь, а затем вычесть площади "лишних" фигур, которые не входят в исходный треугольник.

1. Введем систему координат, приняв за начало отсчета один из узлов сетки. Пусть координаты вершин треугольника будут $A(1, 1)$, $B(4, 5)$ и $C(7, 3)$.

2. Построим прямоугольник, стороны которого проходят через вершины треугольника и параллельны осям координат. Наименьшая координата по оси $x$ равна 1, наибольшая – 7. Наименьшая координата по оси $y$ равна 1, наибольшая – 5. Таким образом, прямоугольник будет иметь вершины в точках $(1, 1)$, $(7, 1)$, $(7, 5)$ и $(1, 5)$.

3. Найдем площадь этого прямоугольника. Его длина равна $7 - 1 = 6$ единиц, а ширина – $5 - 1 = 4$ единицы. Площадь прямоугольника $S_{прям}$ равна:$S_{прям} = 6 \times 4 = 24$

4. Теперь найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые являются частью прямоугольника, но не входят в исходный треугольник:

• Площадь первого треугольника (в левом верхнем углу), образованного вершинами $(1, 1)$, $(1, 5)$ и $(4, 5)$. Его катеты равны $4-1=3$ и $5-1=4$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
• Площадь второго треугольника (в правом верхнем углу), образованного вершинами $(4, 5)$, $(7, 5)$ и $(7, 3)$. Его катеты равны $7-4=3$ и $5-3=2$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.
• Площадь третьего треугольника (в правом нижнем углу), образованного вершинами $(1, 1)$, $(7, 1)$ и $(7, 3)$. Его катеты равны $7-1=6$ и $3-1=2$. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$.

5. Чтобы найти площадь исходного треугольника $S_{\triangle}$, вычтем из площади прямоугольника сумму площадей трех найденных треугольников:$S_{\triangle} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 24 - (6 + 3 + 6) = 24 - 15 = 9$.

Ответ: 9