Страница 33 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Сторона квадрата ABCD равна 14 см. На его сторонах BC и CD отмечены точки E и F так, что $BE = 4$ см, $DF = 9$ см (рис. 38). Найдите площадь треугольника AEF.

Рис. 38

245. Сторона квадрата $ABCD$ равна 14 см. На его сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $E$ и $F$ так, что $BE = 4$ см, $DF = 9$ см (рис. 38). Найдите площадь треугольника $AEF$.

Рис. 38

Для того чтобы найти площадь треугольника $AEF$, мы можем вычислить площадь всего квадрата $ABCD$ и вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников, которые его окружают: $\triangle ABE$, $\triangle ECF$ и $\triangle ADF$.

1. Найдем площадь квадрата $ABCD$.
Сторона квадрата по условию равна 14 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.
$S_{ABCD} = 14^2 = 196$ см².

2. Найдем длины сторон, необходимые для вычисления площадей треугольников.
Стороны квадрата: $AB = BC = CD = DA = 14$ см.
По условию, $BE = 4$ см и $DF = 9$ см.
Найдем длины отрезков $EC$ и $CF$:
$EC = BC - BE = 14 - 4 = 10$ см.
$CF = CD - DF = 14 - 9 = 5$ см.

3. Вычислим площади трех прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Для $\triangle ABE$ катеты $AB=14$ см и $BE=4$ см:
$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28$ см².
Для $\triangle ADF$ катеты $AD=14$ см и $DF=9$ см:
$S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 9 = 63$ см².
Для $\triangle ECF$ катеты $EC=10$ см и $CF=5$ см:
$S_{ECF} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$ см².

4. Теперь найдем площадь треугольника $AEF$, вычтя из площади квадрата сумму площадей трех треугольников:
$S_{AEF} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{ADF} - S_{ECF}$
$S_{AEF} = 196 - 28 - 63 - 25 = 196 - (28 + 63 + 25) = 196 - 116 = 80$ см².

Ответ: 80 см².

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 39, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 39

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 39, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 39

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с длиной стороны клетки равной единице, можно воспользоваться методом достраивания до прямоугольника. Этот метод заключается в том, чтобы описать вокруг треугольника прямоугольник, найти его площадь, а затем вычесть площади "лишних" фигур, которые не входят в исходный треугольник.

1. Введем систему координат, приняв за начало отсчета один из узлов сетки. Пусть координаты вершин треугольника будут $A(1, 1)$, $B(4, 5)$ и $C(7, 3)$.

2. Построим прямоугольник, стороны которого проходят через вершины треугольника и параллельны осям координат. Наименьшая координата по оси $x$ равна 1, наибольшая – 7. Наименьшая координата по оси $y$ равна 1, наибольшая – 5. Таким образом, прямоугольник будет иметь вершины в точках $(1, 1)$, $(7, 1)$, $(7, 5)$ и $(1, 5)$.

3. Найдем площадь этого прямоугольника. Его длина равна $7 - 1 = 6$ единиц, а ширина – $5 - 1 = 4$ единицы. Площадь прямоугольника $S_{прям}$ равна:$S_{прям} = 6 \times 4 = 24$

4. Теперь найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые являются частью прямоугольника, но не входят в исходный треугольник:

• Площадь первого треугольника (в левом верхнем углу), образованного вершинами $(1, 1)$, $(1, 5)$ и $(4, 5)$. Его катеты равны $4-1=3$ и $5-1=4$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
• Площадь второго треугольника (в правом верхнем углу), образованного вершинами $(4, 5)$, $(7, 5)$ и $(7, 3)$. Его катеты равны $7-4=3$ и $5-3=2$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.
• Площадь третьего треугольника (в правом нижнем углу), образованного вершинами $(1, 1)$, $(7, 1)$ и $(7, 3)$. Его катеты равны $7-1=6$ и $3-1=2$. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$.

5. Чтобы найти площадь исходного треугольника $S_{\triangle}$, вычтем из площади прямоугольника сумму площадей трех найденных треугольников:$S_{\triangle} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 24 - (6 + 3 + 6) = 24 - 15 = 9$.

Ответ: 9

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB : BC = 2 : 3$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $C$ и $A$.

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB : BC = 2 : 3$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $C$ и $A$.

Обозначим высоту треугольника, проведённую из вершины $C$ к стороне $AB$, как $h_C$, а высоту, проведённую из вершины $A$ к стороне $BC$, как $h_A$.

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведённая к этой стороне.

Запишем формулу площади для треугольника $ABC$ двумя способами, используя указанные высоты:

1. Через основание $AB$ и высоту $h_C$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$.

2. Через основание $BC$ и высоту $h_A$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$.

Так как оба выражения описывают площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:

$AB \cdot h_C = BC \cdot h_A$

Нам необходимо найти отношение высот, проведённых из вершин $C$ и $A$, то есть $h_C : h_A$. Выразим это отношение из полученного уравнения:

$\frac{h_C}{h_A} = \frac{BC}{AB}$

Из условия задачи известно, что $AB : BC = 2 : 3$, или $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$.

Тогда обратное отношение будет равно $\frac{BC}{AB} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, искомое отношение высот:

$\frac{h_C}{h_A} = \frac{3}{2}$

Таким образом, отношение высоты, проведённой из вершины $C$, к высоте, проведённой из вершины $A$, равно $3:2$.

Ответ: $3:2$.

248. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

248. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Высоту, проведённую к гипотенузе, обозначим как $h$.
По условию задачи имеем: $a = 9$ см, $b = 12$ см.

1. Нахождение гипотенузы
Для нахождения длины гипотенузы $c$ воспользуемся теоремой Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Нахождение высоты через площадь
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1) Как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.
2) Как половина произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2}ch$.

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:
$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$
$ab = ch$

Теперь из этого равенства можно выразить искомую высоту $h$:
$h = \frac{ab}{c}$

Подставим известные значения катетов и вычисленной гипотенузы в формулу:
$h = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$h = \frac{36}{5} = 7,2$ см.

Ответ: 7,2 см.

249. Высота $AD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 5$ см и $DC = 8$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

249. Высота $AD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 5 \text{ см}$ и $DC = 8 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, причем равные стороны $AB$ и $BC$, то есть $AB = BC$. Высота $AD$ проведена к стороне $BC$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ и делит ее на отрезки $BD = 5 \text{ см}$ и $DC = 8 \text{ см}$.

Найдем длину стороны $BC$, к которой проведена высота. Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $BD$ и $DC$:

$BC = BD + DC = 5 \text{ см} + 8 \text{ см} = 13 \text{ см}$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = BC$, то длина стороны $AB$ также равна $13 \text{ см}$:

$AB = 13 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как $AD$ — высота к стороне $BC$, то угол $\angle ADB$ — прямой ($90^\circ$). Следовательно, треугольник $ADB$ является прямоугольным. В этом треугольнике $AB$ — гипотенуза, а $AD$ и $BD$ — катеты. Применим теорему Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

Выразим из этого уравнения катет $AD$, который является высотой треугольника $ABC$:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

Подставим известные значения длин сторон $AB$ и $BD$:

$AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$AD = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$, используя формулу площади: половина произведения основания на высоту. В качестве основания возьмем сторону $BC$, а в качестве высоты — проведенную к ней высоту $AD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$

Подставим найденные значения $BC$ и $AD$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 = 13 \cdot 6 = 78 \text{ см}^2$.

Ответ: $78 \text{ см}^2$.

250. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к основанию равно $5 : 6$.

250. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к основанию равно $5 : 6$.

Пусть дан равнобедренный треугольник, обозначим его боковую сторону как $b$, основание как $a$, и высоту, проведенную к основанию, как $h$.

По условию задачи, высота $h = 12$ см, а отношение боковой стороны к основанию составляет $b : a = 5 : 6$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина боковой стороны $b = 5x$, а длина основания $a = 6x$.

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также и медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник.

Катетами этого прямоугольного треугольника будут высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

Найдем половину основания: $\frac{a}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения и выражения через $x$: $(5x)^2 = 12^2 + (3x)^2$ $25x^2 = 144 + 9x^2$

Решим полученное уравнение: $25x^2 - 9x^2 = 144$ $16x^2 = 144$ $x^2 = \frac{144}{16}$ $x^2 = 9$ $x = 3$ (поскольку длина стороны должна быть положительной).

Теперь, зная $x$, найдем длину основания $a$: $a = 6x = 6 \times 3 = 18$ см.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \times a \times h$

Подставим значения основания и высоты: $S = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 9 \times 12 = 108$ см$^2$.

Ответ: 108 см$^2$.

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а разность катетов — 14 см.

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а разность катетов — 14 см.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$

Согласно условию задачи:
гипотенуза $c = 26$ см;
разность катетов $a - b = 14$ см (предполагая, что $a > b$).

Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$
Подставим известное значение $c$: $a^2 + b^2 = 26^2 = 676$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a^2 + b^2 = 676$
2) $a - b = 14$

Чтобы найти площадь, нам нужно вычислить произведение $ab$. Для этого возведем второе уравнение системы в квадрат: $(a - b)^2 = 14^2$
Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = 196$

Сгруппируем члены уравнения: $(a^2 + b^2) - 2ab = 196$.
Из первого уравнения системы мы знаем, что $a^2 + b^2 = 676$. Подставим это значение: $676 - 2ab = 196$

Теперь решим полученное уравнение относительно $2ab$: $2ab = 676 - 196$ $2ab = 480$

Теперь мы можем найти произведение катетов: $ab = \frac{480}{2} = 240$

Подставим значение произведения $ab$ в формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 240 = 120$ см².

Ответ: 120 см².

252. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 5 см.

252. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны

8 см и 5 см.

252. Площадь ромба ($S$) можно найти, зная длины его диагоналей ($d_1$ и $d_2$), по следующей формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$
По условию задачи нам даны длины диагоналей:
$d_1 = 8$ см
$d_2 = 5$ см
Подставим известные значения в формулу и произведем расчет:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = \frac{40}{2} \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$
Следовательно, площадь данного ромба равна 20 квадратным сантиметрам.
Ответ: 20 см²

253. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

253. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

Существует два основных способа решения этой задачи.

Способ 1. Через формулу площади квадрата по его диагонали

Площадь квадрата ($S$) можно найти, зная его диагональ ($d$), по формуле: $S = \frac{d^2}{2}$.

Эта формула следует из теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна $a$, то диагональ делит его на два прямоугольных треугольника с катетами $a$ и гипотенузой $d$. Тогда $a^2 + a^2 = d^2$, или $2a^2 = d^2$. Поскольку площадь квадрата $S = a^2$, то $2S = d^2$, откуда и получается указанная формула.

По условию, диагональ квадрата $d = 4$ см. Подставим это значение в формулу:

$S = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см².

Способ 2. Через нахождение стороны квадрата

Обозначим сторону квадрата как $a$, а диагональ как $d$. По теореме Пифагора они связаны соотношением: $d = a\sqrt{2}$.

Зная, что $d = 4$ см, мы можем найти сторону $a$:

$4 = a\sqrt{2}$

$a = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная сторону квадрата, найдем его площадь по стандартной формуле $S = a^2$:

$S = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ см².

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 8 см².