Страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а его гипотенуза равна 20 см. Найдите катеты треугольника.

181. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а его гипотенуза равна 20 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.По условию задачи, катеты относятся как $3:4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины катетов можно выразить следующим образом:$a = 3x$$b = 4x$

Гипотенуза треугольника по условию равна $c = 20$ см.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для катетов и значение гипотенузы в эту формулу:$(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2$

Теперь решим полученное уравнение:$9x^2 + 16x^2 = 400$$25x^2 = 400$$x^2 = \frac{400}{25}$$x^2 = 16$Поскольку длина стороны должна быть положительной, извлекаем квадратный корень:$x = \sqrt{16} = 4$

Мы нашли коэффициент пропорциональности $x=4$. Теперь можем вычислить длины катетов:Первый катет: $a = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.Второй катет: $b = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Ответ: 12 см и 16 см.

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как 5 : 3. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 36 см.

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как $5:3$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 36 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, основание — $b$, а высота, проведённая к основанию, — $h$.

По условию задачи, отношение боковой стороны к высоте, проведенной к основанию, равно $5:3$. Это можно записать как:
$\frac{a}{h} = \frac{5}{3}$

Введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $a = 5x$ и $h = 3x$.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Она делит основание на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{b}{2}$. Эта высота также делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона $a$, один катет — это высота $h$, а второй катет — это половина основания $\frac{b}{2}$.

По теореме Пифагора: $a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2$.
Подставим выражения для $a$ и $h$ через $x$:
$(5x)^2 = (3x)^2 + (\frac{b}{2})^2$
$25x^2 = 9x^2 + (\frac{b}{2})^2$
$(\frac{b}{2})^2 = 25x^2 - 9x^2 = 16x^2$
$\frac{b}{2} = \sqrt{16x^2} = 4x$ (длина отрезка не может быть отрицательной).

Отсюда найдём всё основание $b$:
$b = 2 \cdot 4x = 8x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + a + b$. По условию, периметр равен 36 см.
$P = 5x + 5x + 8x = 36$
$18x = 36$
$x = \frac{36}{18} = 2$

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:
Боковая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
Основание: $b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны по 10 см, основание — 16 см.

183. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

183. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, – 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — это $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$.

По условию, один из катетов равен 6 см. Пусть катет $AC = 6$ см.

Также дана медиана, проведённая к этому катету, её длина равна 5 см. Медиана к катету $AC$ — это отрезок, соединяющий вершину $B$ с серединой катета $AC$. Обозначим середину катета $AC$ точкой $M$. Таким образом, $BM = 5$ см.

Поскольку $M$ — середина $AC$, то длина отрезка $MC$ равна половине длины катета $AC$: $MC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим треугольник $BCM$. Угол $\angle C$ в этом треугольнике прямой ($\angle BCM = 90^\circ$), так как он является углом исходного прямоугольного треугольника. Следовательно, треугольник $BCM$ — прямоугольный, где $BC$ и $MC$ — катеты, а $BM$ — гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $BCM$, чтобы найти длину второго катета $BC$ исходного треугольника: $BC^2 + MC^2 = BM^2$

Подставим известные значения: $BC^2 + 3^2 = 5^2$
$BC^2 + 9 = 25$
$BC^2 = 25 - 9$
$BC^2 = 16$
$BC = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы знаем длины обоих катетов исходного треугольника $ABC$: $AC = 6$ см и $BC = 4$ см. Для нахождения гипотенузы $AB$ снова применим теорему Пифагора, но уже для треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим значения длин катетов: $AB^2 = 6^2 + 4^2$
$AB^2 = 36 + 16$
$AB^2 = 52$
$AB = \sqrt{52}$

Упростим полученное значение: $AB = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10$ см, $BC = 15$ см, а высота $BD$ равна 8 см. Найдите сторону $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10$ см, $BC = 15$ см, а высота $BD$ равна $8$ см. Найдите сторону $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Найдите сторону AC треугольника

Пусть дан треугольник ABC. Известны стороны $AB = 10$ см, $BC = 15$ см и высота $BD = 8$ см, проведенная к стороне AC. Высота BD перпендикулярна прямой AC, поэтому она образует два прямоугольных треугольника: ΔABD и ΔBCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (с прямым углом D). По теореме Пифагора найдем катет AD:
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
$AD^2 + 8^2 = 10^2$
$AD^2 + 64 = 100$
$AD^2 = 36$
$AD = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (с прямым углом D). По теореме Пифагора найдем катет DC:
$DC^2 + BD^2 = BC^2$
$DC^2 + 8^2 = 15^2$
$DC^2 + 64 = 225$
$DC^2 = 161$
$DC = \sqrt{161}$ см.

Положение точки D на прямой AC определяет длину стороны AC. Возможны два случая.

Случай 1: Точка D лежит на отрезке AC. Это соответствует случаю, когда углы A и C в треугольнике ABC острые. В этом случае длина стороны AC равна сумме длин отрезков AD и DC:
$AC = AD + DC = 6 + \sqrt{161}$ см.

Случай 2: Точка D лежит на прямой AC, но вне отрезка AC. Это соответствует случаю, когда один из углов при основании (A или C) тупой.

- Если угол C тупой, то точка C лежит между A и D. Тогда $AC = AD - CD = 6 - \sqrt{161}$. Так как $\sqrt{161} > \sqrt{36} = 6$, длина AC была бы отрицательной, что невозможно.

- Если угол A тупой, то точка A лежит между C и D. Тогда длина стороны AC равна разности длин отрезков DC и AD:
$AC = DC - AD = \sqrt{161} - 6$ см.
Так как $\sqrt{161} > 6$, это значение положительно и является возможным решением.

Таким образом, сторона AC может иметь два возможных значения.
Ответ: Сторона AC может быть равна $(6 + \sqrt{161})$ см или $(\sqrt{161} - 6)$ см.

Сколько решений имеет задача?

Как показано выше, существуют два возможных значения для длины стороны AC. Для каждого из них необходимо проверить выполнимость неравенства треугольника, чтобы убедиться в существовании таких треугольников.
1. Для $AC = 6 + \sqrt{161}$ см:
$10 + 15 > 6 + \sqrt{161} \implies 25 > 6 + \sqrt{161} \implies 19 > \sqrt{161}$ (верно, так как $19^2 = 361 > 161$). Остальные неравенства также верны.
2. Для $AC = \sqrt{161} - 6$ см:
$10 + (\sqrt{161} - 6) > 15 \implies 4 + \sqrt{161} > 15 \implies \sqrt{161} > 11$ (верно, так как $161 > 11^2 = 121$). Остальные неравенства также верны.

Поскольку оба варианта приводят к существующим треугольникам, задача имеет два решения.
Ответ: Задача имеет два решения.

185. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ проведена высота $AD$. Известно, что $BD = 4$ см, $DC = 16$ см. Найдите основание $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) проведена высота $AD$. Известно, что $BD = 4$ см, $DC = 16$ см. Найдите основание $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Поскольку высота AD проведена к боковой стороне BC, а не к основанию, то возможны два случая расположения точки D на прямой BC. Это зависит от того, является ли угол B при вершине равнобедренного треугольника острым или тупым. Следовательно, задача имеет два решения.

Случай 1: Угол B острый

Если угол B острый, то основание высоты D лежит на стороне BC, между точками B и C. В этом случае длина боковой стороны BC равна сумме длин отрезков BD и DC.

$BC = BD + DC = 4 + 16 = 20$ см.

Так как по условию треугольник ABC равнобедренный с $AB = BC$, то $AB = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle ADB = 90^\circ$, так как AD — высота). По теореме Пифагора найдем квадрат высоты AD:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AD^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC ($\angle ADC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем искомое основание AC:

$AC^2 = AD^2 + DC^2$

$AC^2 = 384 + 16^2 = 384 + 256 = 640$.

$AC = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $AC = 8\sqrt{10}$ см.

Случай 2: Угол B тупой

Если угол B тупой, то основание высоты D лежит на продолжении стороны BC за точку B. В этом случае длина боковой стороны BC равна разности длин отрезков DC и BD.

$BC = DC - BD = 16 - 4 = 12$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный ($AB = BC$), то $AB = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle ADB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем квадрат высоты AD:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AD^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC ($\angle ADC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем искомое основание AC:

$AC^2 = AD^2 + DC^2$

$AC^2 = 128 + 16^2 = 128 + 256 = 384$.

$AC = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.

Ответ: $AC = 8\sqrt{6}$ см.

Таким образом, задача имеет два решения. Основание AC может быть равно $8\sqrt{10}$ см или $8\sqrt{6}$ см.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 25 см, а длина её проекции на эту прямую — 15 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол $30^\circ$.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 25 см, а длина её проекции на эту прямую — 15 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол $30^\circ$.

Пусть из точки $A$ к некоторой прямой проведены перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Отрезок $AH$ является расстоянием от точки до прямой. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на эту прямую.

По условию, длина первой наклонной $AB = 25$ см, а длина её проекции $HB = 15$ см. Треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным, так как $AH$ — перпендикуляр. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину перпендикуляра $AH$:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$25^2 = AH^2 + 15^2$
$625 = AH^2 + 225$
$AH^2 = 625 - 225$
$AH^2 = 400$
$AH = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь рассмотрим вторую наклонную $AC$. По условию, она образует с прямой угол $30^\circ$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ угол $\angle ACH = 30^\circ$. В этом треугольнике катет $AH$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет $AH$ и гипотенуза $AC$ связаны соотношением:
$AH = \frac{1}{2} AC$
Отсюда мы можем найти длину второй наклонной $AC$:
$AC = 2 \cdot AH$
$AC = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность наклонных равна 2 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность наклонных равна 2 см.

Пусть из некоторой точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Длина перпендикуляра $AH$ является искомым расстоянием, обозначим ее как $h$. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на прямую $l$.

Согласно условию задачи, длины проекций равны 5 см и 9 см. Пусть $HB = 5$ см и $HC = 9$ см.

По свойству наклонных, большей проекции соответствует большая наклонная. Так как $HC > HB$ ($9 > 5$), то и наклонная $AC$ длиннее наклонной $AB$. По условию, разность их длин равна 2 см, следовательно, $AC - AB = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$, в которых $AH$ — общий катет.

Применим теорему Пифагора для каждого треугольника:

Из $\triangle AHB$: $AB^2 = AH^2 + HB^2$, что дает нам уравнение: $AB^2 = h^2 + 5^2 \Rightarrow AB^2 = h^2 + 25$ (1)

Из $\triangle AHC$: $AC^2 = AH^2 + HC^2$, что дает нам уравнение: $AC^2 = h^2 + 9^2 \Rightarrow AC^2 = h^2 + 81$ (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): $AC^2 - AB^2 = (h^2 + 81) - (h^2 + 25)$ $AC^2 - AB^2 = 56$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(AC - AB)(AC + AB) = 56$

Мы знаем, что $AC - AB = 2$. Подставим это значение в полученное уравнение: $2 \cdot (AC + AB) = 56$ $AC + AB = \frac{56}{2}$ $AC + AB = 28$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $AC$ и $AB$: $ \begin{cases} AC - AB = 2 \\ AC + AB = 28 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2AC = 30$ $AC = 15$ см.

Тогда $AB = AC - 2 = 15 - 2 = 13$ см.

Для нахождения расстояния $h$ подставим найденное значение длины одной из наклонных (например, $AB = 13$) в соответствующее уравнение (1): $13^2 = h^2 + 25$ $169 = h^2 + 25$ $h^2 = 169 - 25$ $h^2 = 144$ $h = \sqrt{144}$ $h = 12$ см.

Ответ: 12 см.

188. В равнобокую трапецию вписана окружность, радиус которой равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её боковая сторона равна 25 см.

Рис. 32

188. В равнобокую трапецию вписана окружность, радиус которой равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её боковая сторона равна 25 см.

Рис. 32

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$ и боковой стороной $c=25$ см.

Поскольку в трапецию вписана окружность, суммы длин её противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:$a + b = c + c = 2c$

Подставив известное значение боковой стороны, получим сумму оснований:$a + b = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна её диаметру. Радиус вписанной окружности по условию равен $r = 12$ см. Тогда высота трапеции $h$ равна:$h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком на большем основании. В равнобокой трапеции длина этого отрезка равна полуразности оснований, то есть $\frac{a - b}{2}$. По теореме Пифагора:$c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $c$ и $h$:$25^2 = 24^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$$625 = 576 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$$\left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = 625 - 576 = 49$

Извлекая квадратный корень, находим:$\frac{a - b}{2} = \sqrt{49} = 7$ см.

Отсюда находим разность оснований:$a - b = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:$\\ \begin{cases} a + b = 50 \\ a - b = 14 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:$(a + b) + (a - b) = 50 + 14$$2a = 64$$a = 32$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:$32 + b = 50$$b = 50 - 32 = 18$ см.

Следовательно, основания трапеции равны 18 см и 32 см.

Ответ: 18 см и 32 см.

189. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 4 см, имеют одну общую точку $A$ (рис. 32). Прямая $b$ касается этих окружностей в точках $M$ и $N$. Найдите отрезок $MN$.

Рис. 32

189. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 4 см, имеют одну общую точку A (рис. 32). Прямая b касается этих окружностей в точках M и N. Найдите отрезок MN.

Рис. 32

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. По условию задачи, $R_1 = 9$ см и $R_2 = 4$ см. Окружности имеют одну общую точку касания $A$, следовательно, они касаются внешним образом. Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = R_1 + R_2 = 9 + 4 = 13$ см.

Проведем радиусы $O_1M$ и $O_2N$ к точкам касания с прямой $b$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1M \perp b$ и $O_2N \perp b$. Из этого следует, что $O_1M \parallel O_2N$, и четырехугольник $O_1MNO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1M=9$ см и $O_2N=4$ см и боковыми сторонами $MN$ и $O_1O_2$.

Для нахождения длины отрезка $MN$ проведем из центра меньшей окружности $O_2$ перпендикуляр $O_2K$ к радиусу $O_1M$. Получим прямоугольник $MNO_2K$ и прямоугольный треугольник $O_1KO_2$.

В прямоугольнике $MNO_2K$ стороны $MN$ и $O_2K$ равны, то есть $MN = O_2K$. Также $MK = O_2N = R_2 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1KO_2$, где $\angle O_1KO_2 = 90^\circ$:

• Гипотенуза $O_1O_2 = 13$ см.
• Катет $O_1K$ равен разности радиусов: $O_1K = O_1M - MK = R_1 - R_2 = 9 - 4 = 5$ см.
• Катет $O_2K$ равен искомому отрезку $MN$.

По теореме Пифагора $(O_1O_2)^2 = (O_1K)^2 + (O_2K)^2$.

Выразим $O_2K$:

$(O_2K)^2 = (O_1O_2)^2 - (O_1K)^2$

$(O_2K)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$O_2K = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как $MN = O_2K$, то $MN = 12$ см.

Ответ: 12 см.

190. Точки M и N лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a. Из этих точек к прямой a проведены перпендикуляры MK и NF. Найдите отрезок KF, если $MK = 3 \text{ см}, NF = 2 \text{ см}, MN = 13 \text{ см}$.

190. Точки $M$ и $N$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. Из этих точек к прямой $a$ проведены перпендикуляры $MK$ и $NF$. Найдите отрезок $KF$, если $MK = 3$ см, $NF = 2$ см, $MN = 13$ см.

Поскольку точки M и N лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a, а перпендикуляры MK и NF проведены к этой прямой, то отрезки MK и NF параллельны друг другу. Фигура MKFN является трапецией с основаниями MK и NF.

Для нахождения отрезка KF, который является частью прямой a, мы можем использовать дополнительное построение. Проведем из точки N прямую, параллельную прямой a, до пересечения с продолжением отрезка MK в точке P.

Рассмотрим получившийся четырехугольник KPNF. По построению $NP \parallel KF$. Так как $MK \perp a$ и $NF \perp a$, то $MK \parallel NF$, а значит и прямая $MP \parallel NF$. Поскольку противоположные стороны четырехугольника KPNF попарно параллельны, а угол $\angle MKF = 90^\circ$, то KPNF — прямоугольник. Из этого следует, что $KF = NP$ и $KP = NF = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MPN$. Так как прямая MP (продолжение MK) перпендикулярна прямой a, а прямая NP параллельна прямой a, то $MP \perp NP$. Следовательно, $\triangle MPN$ — прямоугольный треугольник с прямым углом P.

Найдем длины катетов этого треугольника:

• Катет MP равен сумме длин отрезков MK и KP: $MP = MK + KP = 3 + 2 = 5$ см.
• Катет NP равен искомому отрезку KF.

Гипотенуза MN по условию равна 13 см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle MPN$:

$MN^2 = MP^2 + NP^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 5^2 + NP^2$

$169 = 25 + NP^2$

$NP^2 = 169 - 25$

$NP^2 = 144$

$NP = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как $KF = NP$, то $KF = 12$ см.

Ответ: 12 см.