Номер 186, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 25 см, а длина её проекции на эту прямую — 15 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол $30^\circ$.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 25 см, а длина её проекции на эту прямую — 15 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол $30^\circ$.

Пусть из точки $A$ к некоторой прямой проведены перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Отрезок $AH$ является расстоянием от точки до прямой. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на эту прямую.

По условию, длина первой наклонной $AB = 25$ см, а длина её проекции $HB = 15$ см. Треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным, так как $AH$ — перпендикуляр. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину перпендикуляра $AH$:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$25^2 = AH^2 + 15^2$
$625 = AH^2 + 225$
$AH^2 = 625 - 225$
$AH^2 = 400$
$AH = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь рассмотрим вторую наклонную $AC$. По условию, она образует с прямой угол $30^\circ$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ угол $\angle ACH = 30^\circ$. В этом треугольнике катет $AH$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет $AH$ и гипотенуза $AC$ связаны соотношением:
$AH = \frac{1}{2} AC$
Отсюда мы можем найти длину второй наклонной $AC$:
$AC = 2 \cdot AH$
$AC = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Ответ: 40 см.