Номер 183, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

183. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, – 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — это $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$.

По условию, один из катетов равен 6 см. Пусть катет $AC = 6$ см.

Также дана медиана, проведённая к этому катету, её длина равна 5 см. Медиана к катету $AC$ — это отрезок, соединяющий вершину $B$ с серединой катета $AC$. Обозначим середину катета $AC$ точкой $M$. Таким образом, $BM = 5$ см.

Поскольку $M$ — середина $AC$, то длина отрезка $MC$ равна половине длины катета $AC$: $MC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим треугольник $BCM$. Угол $\angle C$ в этом треугольнике прямой ($\angle BCM = 90^\circ$), так как он является углом исходного прямоугольного треугольника. Следовательно, треугольник $BCM$ — прямоугольный, где $BC$ и $MC$ — катеты, а $BM$ — гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $BCM$, чтобы найти длину второго катета $BC$ исходного треугольника: $BC^2 + MC^2 = BM^2$

Подставим известные значения: $BC^2 + 3^2 = 5^2$
$BC^2 + 9 = 25$
$BC^2 = 25 - 9$
$BC^2 = 16$
$BC = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы знаем длины обоих катетов исходного треугольника $ABC$: $AC = 6$ см и $BC = 4$ см. Для нахождения гипотенузы $AB$ снова применим теорему Пифагора, но уже для треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим значения длин катетов: $AB^2 = 6^2 + 4^2$
$AB^2 = 36 + 16$
$AB^2 = 52$
$AB = \sqrt{52}$

Упростим полученное значение: $AB = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.