Номер 177, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо применить теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Поскольку в условии не указано, являются ли данные стороны катетами или одна из них — гипотенуза, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Найдите третью сторону треугольника.

Случай 1: данные стороны 5 см и 8 см являются катетами.

Пусть катеты $a = 5$ см и $b = 8$ см. Тогда третья сторона — это гипотенуза $c$.

По теореме Пифагора:

$c^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$

Следовательно, $c = \sqrt{89}$ см.

Случай 2: одна из данных сторон является гипотенузой.

Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Поэтому из двух данных сторон (5 см и 8 см) гипотенузой может быть только большая, то есть $c = 8$ см. Тогда сторона длиной 5 см является катетом, $a = 5$ см. Искомая третья сторона — это второй катет $b$.

Из теоремы Пифагора выразим квадрат второго катета:

$b^2 = c^2 - a^2 = 8^2 - 5^2 = 64 - 25 = 39$

Следовательно, $b = \sqrt{39}$ см.

Таким образом, мы получили два возможных значения для третьей стороны треугольника.

Ответ: третья сторона треугольника равна $\sqrt{89}$ см или $\sqrt{39}$ см.

Сколько решений имеет задача?

Так как мы нашли два различных возможных значения для длины третьей стороны, каждое из которых соответствует существующему прямоугольному треугольнику, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.