Номер 170, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{3}$ см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{3}$ см.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{3}$ см, имея единичный отрезок длиной 1 см, можно использовать теорему Пифагора. Идея заключается в построении прямоугольного треугольника, у которого один из катетов будет иметь искомую длину.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 2 см, а один из катетов — 1 см. Тогда по теореме Пифагора второй катет будет иметь длину, равную $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см. Таким образом, задача сводится к построению такого треугольника с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую l и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую m, которая проходит через точку A и перпендикулярна прямой l.
3. С помощью циркуля отмерим данный отрезок длиной 1 см и отложим его на прямой m от точки A. Получим точку B. Таким образом, длина катета AB равна 1 см.
4. На отдельном участке прямой отложим дважды подряд отрезок длиной 1 см, чтобы получить отрезок длиной 2 см. Установим раствор циркуля равным этой длине.
5. Поставим иглу циркуля в точку B и проведем дугу окружности радиусом 2 см так, чтобы она пересекла прямую l. Обозначим точку пересечения как C.
6. Соединим точки A и C. Полученный отрезок AC и есть искомый отрезок.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A. Катет AB = 1 см, гипотенуза BC = 2 см. Длину катета AC найдем по теореме Пифагора:

$AC^2 = BC^2 - AB^2$

$AC^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$ см

Следовательно, отрезок AC является искомым отрезком длиной $\sqrt{3}$ см.

Ответ: Отрезок AC, построенный согласно приведенному алгоритму, имеет длину $\sqrt{3}$ см.