Номер 167, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Вариант 1. Упражнения - номер 167, страница 24.

Условие 2017.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите диагонали ромба.

Условие 2021.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите диагонали ромба.

Решение 2021.

Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ к стороне $AB$ проведен перпендикуляр $OH$. По условию, точка $H$ делит сторону ромба на отрезки $AH = 3$ см и $HB = 12$ см.

1. Нахождение длины стороны ромба
Сторона ромба $AB$ является суммой длин отрезков $AH$ и $HB$:
$AB = AH + HB = 3 + 12 = 15$ см.

2. Использование свойств прямоугольного треугольника
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($\angle AOB = 90^\circ$) и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным, где катеты – это половины диагоналей ($AO$ и $BO$), а гипотенуза – сторона ромба ($AB$). Отрезок $OH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

3. Вычисление длин половин диагоналей
Для нахождения катетов воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Проекцией катета $AO$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $AH$.
$AO^2 = AB \cdot AH = 15 \cdot 3 = 45$
$AO = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.
Проекцией катета $BO$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $HB$.
$BO^2 = AB \cdot HB = 15 \cdot 12 = 180$
$BO = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

4. Нахождение длин диагоналей
Поскольку $AO$ и $BO$ – это половины диагоналей, то полные длины диагоналей $AC$ и $BD$ равны:
$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ см.
$BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Ответ: $6\sqrt{5}$ см и $12\sqrt{5}$ см.