Страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена точка $D$.

Известно, что $AB = 9$ см, $\frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$. Найдите отрезок $BD$.

161. В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D. Известно, что AB = 9 см, $\frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3}$. Найдите отрезок BD.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BDC$.

1. У этих треугольников угол $\angle C$ является общим.

2. Из условия задачи известно, что стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны:$ \frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3} $

По второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны), следует, что $\triangle BDC \sim \triangle ABC$.

Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Соответствующими сторонами являются те, что лежат напротив равных углов. В данном случае, сторона $BD$ в $\triangle BDC$ лежит напротив общего угла $\angle C$, а сторона $AB$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle C$. Ошибка, это неверно. Углы $\angle CBD$ и $\angle CAB$ соответствуют друг другу, а также $\angle CDB$ и $\angle CBA$.

Правильное соотношение сторон, исходя из подобия $\triangle BDC \sim \triangle ABC$ (вершина B первого треугольника соответствует вершине A второго, D - B, C - C), будет:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{BC} = \frac{BC}{AC} $

Используя данное в условии равенство, получаем:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{1}{3} $

Нам известно, что $AB = 9$ см. Подставим это значение в полученное соотношение:

$ \frac{BD}{9} = \frac{1}{3} $

Теперь найдем длину отрезка $BD$:

$ BD = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$. Известно, что $AD = 1 \text{ см}$, $DB = 4 \text{ см}$, $CD = 2 \text{ см}$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$. Известно, что $AD = 1$ см, $DB = 4$ см, $CD = 2$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку $CD$ — высота, проведенная к стороне $AB$ треугольника $ABC$, то она перпендикулярна этой стороне ($CD \perp AB$). Следовательно, треугольники $ADC$ и $BDC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $AC$ равен сумме квадратов катетов $AD$ и $CD$.
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
Подставим известные значения: $AD = 1$ см и $CD = 2$ см.
$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ (см$^2$).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $BC$ равен сумме квадратов катетов $DB$ и $CD$.
$BC^2 = DB^2 + CD^2$
Подставим известные значения: $DB = 4$ см и $CD = 2$ см.
$BC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ (см$^2$).

Для треугольника $ABC$ найдем длину его стороны $AB$, которая является суммой длин отрезков $AD$ и $DB$.
$AB = AD + DB = 1 + 4 = 5$ см.
Возведем длину стороны $AB$ в квадрат:
$AB^2 = 5^2 = 25$ (см$^2$).

Теперь проверим, выполняется ли для треугольника $ABC$ равенство, соответствующее теореме, обратной теореме Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Проверим равенство: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25$ (см$^2$).
Мы видим, что $AC^2 + BC^2 = 25$ и $AB^2 = 25$.
Таким образом, равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$ выполняется.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Прямой угол в таком треугольнике лежит напротив самой длинной стороны, то есть напротив стороны $AB$. Этим углом является $\angle ACB$.
Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

163. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 16 см.

163. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 16 см.

Для решения данной задачи используется свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Согласно этому свойству, высота является средним геометрическим для отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Пусть $h$ — искомая высота, а $a'$ и $b'$ — длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу. По условию, $a' = 4$ см и $b' = 16$ см.

Формула, связывающая высоту и отрезки на гипотенузе, выглядит следующим образом:

$h^2 = a' \cdot b'$

Подставим известные значения в эту формулу:

$h^2 = 4 \cdot 16$

Выполним умножение:

$h^2 = 64$

Теперь найдем значение $h$, извлекая квадратный корень из 64:

$h = \sqrt{64}$

$h = 8$ см

Таким образом, длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, составляет 8 см.

Ответ: 8 см.

164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 8 см и 24 см. Найдите катеты треугольника.

164. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 8 см и 24 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим длины этих отрезков как $c_a = 8$ см и $c_b = 24$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$. Она равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота:
$c = c_a + c_b = 8 + 24 = 32$ см.

2. Для нахождения катетов воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Согласно этим соотношениям, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем первый катет $a$, проекцией которого является отрезок $c_a$:
$a^2 = c \cdot c_a$
$a^2 = 32 \cdot 8 = 256$
$a = \sqrt{256} = 16$ см.

Найдем второй катет $b$, проекцией которого является отрезок $c_b$:
$b^2 = c \cdot c_b$
$b^2 = 32 \cdot 24 = 768$
Чтобы извлечь корень, разложим 768 на множители: $768 = 256 \cdot 3$.
$b = \sqrt{256 \cdot 3} = \sqrt{256} \cdot \sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Ответ: катеты треугольника равны 16 см и $16\sqrt{3}$ см.

165. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а его проекция на гипотенузу — 4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

165. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а его проекция на гипотенузу – 4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Для решения этой задачи используются метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Одно из этих соотношений гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Обозначим:

• $a$ – длина данного катета;
• $c$ – длина гипотенузы;
• $a_c$ – длина проекции катета $a$ на гипотенузу $c$.

Формула, выражающая это соотношение, выглядит так:
$a^2 = c \cdot a_c$

Согласно условию задачи, мы имеем:
$a = 8$ см
$a_c = 4$ см

Подставим известные значения в формулу:
$8^2 = c \cdot 4$

Выполним вычисления:
$64 = 4c$

Теперь найдем гипотенузу $c$, разделив обе части уравнения на 4:
$c = \frac{64}{4}$
$c = 16$

Таким образом, длина гипотенузы треугольника составляет 16 см.

Ответ: 16 см.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию:

• Меньшее основание $BC = 5$ см.
• Большее основание $AD = 13$ см.
• Трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$.
• Диагонали перпендикулярны боковым сторонам, например, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, что означает $∠ACD = 90°$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $∠ACD = 90°$, то он является прямоугольным, а большее основание трапеции AD является его гипотенузой.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Высота CH является также и высотой трапеции. В равнобокой трапеции отрезок HD, который является проекцией боковой стороны CD на большее основание, вычисляется по формуле:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка AH, на который высота CH делит гипотенузу AD:
$AH = AD - HD = 13 - 4 = 9$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ высота CH, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу (AH и HD).
$CH^2 = AH \cdot HD$
Подставим найденные значения:
$CH^2 = 9 \cdot 4 = 36$
$CH = \sqrt{36} = 6$ см.
Следовательно, высота трапеции равна 6 см.
Ответ: 6 см.

Боковую сторону CD можно найти несколькими способами.
Способ 1: Из прямоугольного треугольника $CHD$.
По теореме Пифагора:
$CD^2 = CH^2 + HD^2$
$CD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$
$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Способ 2: Из прямоугольного треугольника $ACD$.
Катет прямоугольного треугольника (CD) есть среднее геометрическое между гипотенузой (AD) и проекцией этого катета на гипотенузу (HD).
$CD^2 = AD \cdot HD$
$CD^2 = 13 \cdot 4 = 52$
$CD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.
Боковая сторона трапеции равна $2\sqrt{13}$ см.
Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите диагонали ромба.

167. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ к стороне $AB$ проведен перпендикуляр $OH$. По условию, точка $H$ делит сторону ромба на отрезки $AH = 3$ см и $HB = 12$ см.

1. Нахождение длины стороны ромба
Сторона ромба $AB$ является суммой длин отрезков $AH$ и $HB$:
$AB = AH + HB = 3 + 12 = 15$ см.

2. Использование свойств прямоугольного треугольника
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($\angle AOB = 90^\circ$) и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным, где катеты – это половины диагоналей ($AO$ и $BO$), а гипотенуза – сторона ромба ($AB$). Отрезок $OH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

3. Вычисление длин половин диагоналей
Для нахождения катетов воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Проекцией катета $AO$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $AH$.
$AO^2 = AB \cdot AH = 15 \cdot 3 = 45$
$AO = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.
Проекцией катета $BO$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $HB$.
$BO^2 = AB \cdot HB = 15 \cdot 12 = 180$
$BO = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

4. Нахождение длин диагоналей
Поскольку $AO$ и $BO$ – это половины диагоналей, то полные длины диагоналей $AC$ и $BD$ равны:
$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ см.
$BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Ответ: $6\sqrt{5}$ см и $12\sqrt{5}$ см.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

168. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где $AB \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, AB является меньшей боковой стороной и высотой трапеции, а CD — большей боковой стороной.

Пусть в трапецию вписана окружность. Обозначим точку касания на большей боковой стороне CD как M. По условию, точка M делит сторону CD на отрезки длиной 3 см и 12 см. Пусть $CM = 3$ см и $MD = 12$ см.

Тогда длина большей боковой стороны CD равна сумме длин этих отрезков:
$CD = CM + MD = 3 + 12 = 15$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных от вершины многоугольника до точек касания равны. Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно. Тогда:

• $CK = CM = 3$ см (касательные из точки C)
• $DL = MD = 12$ см (касательные из точки D)

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Мы получим прямоугольный треугольник CHD, где $\angle CHD = 90^\circ$.

Высота трапеции CH равна меньшей боковой стороне AB ($CH = AB$). Длина отрезка HD равна разности длин оснований:

$HD = AD - AH$. Поскольку ABCH — прямоугольник, $AH = BC$. Следовательно, $HD = AD - BC$.

В трапецию можно вписать окружность, поэтому ее высота равна диаметру вписанной окружности. Если $r$ — радиус окружности, то высота $AB = 2r$.

Так как трапеция прямоугольная, отрезки от вершин B и A до точек касания на прилежащих сторонах равны радиусу $r$. Таким образом, мы можем выразить длины оснований:

• Верхнее основание: $BC = BK + KC = r + 3$ см.
• Нижнее основание: $AD = AL + LD = r + 12$ см.

Теперь найдем длину катета HD в треугольнике CHD:

$HD = AD - BC = (r + 12) - (r + 3) = 12 - 3 = 9$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику CHD, где гипотенуза $CD = 15$ см, а катеты $CH = AB = 2r$ и $HD = 9$ см:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$15^2 = (2r)^2 + 9^2$

$225 = 4r^2 + 81$

$4r^2 = 225 - 81$

$4r^2 = 144$

$r^2 = 36$

$r = 6$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем найти длины всех сторон трапеции:

• Меньшая боковая сторона (высота): $AB = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.
• Верхнее основание: $BC = r + 3 = 6 + 3 = 9$ см.
• Нижнее основание: $AD = r + 12 = 6 + 12 = 18$ см.
• Большая боковая сторона: $CD = 15$ см.

Периметр трапеции P равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = 12 + 9 + 15 + 18 = 54$ см.

Также можно найти периметр, используя свойство описанного четырехугольника, согласно которому суммы длин противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Периметр $P = (AB + CD) + (BC + AD) = 2(AB + CD)$.

$P = 2(12 + 15) = 2(27) = 54$ см.

Ответ: 54 см.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По свойству равнобокой трапеции $AB = CD$.

Пусть точка $M$ — точка касания вписанной окружности с боковой стороной $CD$. По условию задачи, эта точка делит сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Пусть $CM = 8$ см и $MD = 18$ см.Тогда длина боковой стороны трапеции равна:$CD = CM + MD = 8 + 18 = 26$ см.

Основания трапеции

Для нахождения длин оснований воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.

Пусть точки $L$ и $N$ — точки касания окружности с основаниями $BC$ и $AD$ соответственно.Из вершины $C$ проведены касательные $CM$ и $CL$, следовательно, $CL = CM = 8$ см.Из вершины $D$ проведены касательные $DM$ и $DN$, следовательно, $DN = DM = 18$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, вписанная окружность касается оснований в их серединах.Таким образом, длина верхнего (меньшего) основания $BC$ равна:$BC = 2 \cdot CL = 2 \cdot 8 = 16$ см.Длина нижнего (большего) основания $AD$ равна:$AD = 2 \cdot DN = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Для проверки можно использовать свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны.Сумма оснований: $AD + BC = 36 + 16 = 52$ см.Сумма боковых сторон: $AB + CD = 26 + 26 = 52$ см.Равенство $AD + BC = AB + CD$ выполняется, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: длины оснований трапеции равны 16 см и 36 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности можно найти двумя способами.

Способ 1: Через высоту трапеции.

Высота равнобокой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ — радиус.Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD = 26$ см.Длина катета $HD$ в равнобокой трапеции вычисляется как полуразность оснований:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.По теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$CH^2 = CD^2 - HD^2$$h^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$h = \sqrt{576} = 24$ см.Радиус вписанной окружности равен половине высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Способ 2: Через свойства центра вписанной окружности.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Он лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Рассмотрим треугольник $COD$.Так как $BC \parallel AD$, то сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$: $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.Лучи $CO$ и $DO$ являются биссектрисами этих углов, поэтому в треугольнике $COD$ сумма углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна:$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.Это означает, что третий угол треугольника $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть треугольник $COD$ — прямоугольный.Отрезок $OM$ (где $M$ — точка касания на стороне $CD$) является радиусом окружности $r$ и одновременно высотой прямоугольного треугольника $COD$, проведенной к гипотенузе.Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$OM^2 = CM \cdot MD$$r^2 = 8 \cdot 18 = 144$$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 12 см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{3}$ см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{3}$ см.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{3}$ см, имея единичный отрезок длиной 1 см, можно использовать теорему Пифагора. Идея заключается в построении прямоугольного треугольника, у которого один из катетов будет иметь искомую длину.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 2 см, а один из катетов — 1 см. Тогда по теореме Пифагора второй катет будет иметь длину, равную $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см. Таким образом, задача сводится к построению такого треугольника с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую l и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую m, которая проходит через точку A и перпендикулярна прямой l.
3. С помощью циркуля отмерим данный отрезок длиной 1 см и отложим его на прямой m от точки A. Получим точку B. Таким образом, длина катета AB равна 1 см.
4. На отдельном участке прямой отложим дважды подряд отрезок длиной 1 см, чтобы получить отрезок длиной 2 см. Установим раствор циркуля равным этой длине.
5. Поставим иглу циркуля в точку B и проведем дугу окружности радиусом 2 см так, чтобы она пересекла прямую l. Обозначим точку пересечения как C.
6. Соединим точки A и C. Полученный отрезок AC и есть искомый отрезок.

В результате мы получили прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A. Катет AB = 1 см, гипотенуза BC = 2 см. Длину катета AC найдем по теореме Пифагора:

$AC^2 = BC^2 - AB^2$

$AC^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$ см

Следовательно, отрезок AC является искомым отрезком длиной $\sqrt{3}$ см.

Ответ: Отрезок AC, построенный согласно приведенному алгоритму, имеет длину $\sqrt{3}$ см.