Номер 162, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$. Известно, что $AD = 1 \text{ см}$, $DB = 4 \text{ см}$, $CD = 2 \text{ см}$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$. Известно, что $AD = 1$ см, $DB = 4$ см, $CD = 2$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку $CD$ — высота, проведенная к стороне $AB$ треугольника $ABC$, то она перпендикулярна этой стороне ($CD \perp AB$). Следовательно, треугольники $ADC$ и $BDC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $AC$ равен сумме квадратов катетов $AD$ и $CD$.
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
Подставим известные значения: $AD = 1$ см и $CD = 2$ см.
$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ (см$^2$).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $BC$ равен сумме квадратов катетов $DB$ и $CD$.
$BC^2 = DB^2 + CD^2$
Подставим известные значения: $DB = 4$ см и $CD = 2$ см.
$BC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ (см$^2$).

Для треугольника $ABC$ найдем длину его стороны $AB$, которая является суммой длин отрезков $AD$ и $DB$.
$AB = AD + DB = 1 + 4 = 5$ см.
Возведем длину стороны $AB$ в квадрат:
$AB^2 = 5^2 = 25$ (см$^2$).

Теперь проверим, выполняется ли для треугольника $ABC$ равенство, соответствующее теореме, обратной теореме Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Проверим равенство: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25$ (см$^2$).
Мы видим, что $AC^2 + BC^2 = 25$ и $AB^2 = 25$.
Таким образом, равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$ выполняется.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Прямой угол в таком треугольнике лежит напротив самой длинной стороны, то есть напротив стороны $AB$. Этим углом является $\angle ACB$.
Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.