Номер 155, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB : A_1C_1 = AC : A_1B_1 = 3,5$, $\angle A = \angle A_1$. Найдите стороны $BC$ и $B_1C_1$, если их сумма равна 18 см.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ $AB : A_1 C_1 = AC : A_1 B_1 = 3.5$, $\angle A = \angle A_1$. Найдите стороны $BC$ и $B_1 C_1$, если их сумма равна 18 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи даны следующие соотношения: $\frac{AB}{A_1C_1} = 3,5$, $\frac{AC}{A_1B_1} = 3,5$ и $\angle A = \angle A_1$.

Сравним треугольник $ABC$ с треугольником $A_1C_1B_1$ (обратите внимание на порядок вершин). В $\triangle ABC$ стороны $AB$ и $AC$ образуют угол $\angle A$. В $\triangle A_1C_1B_1$ стороны $A_1C_1$ и $A_1B_1$ образуют угол $\angle A_1$. Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\frac{AB}{A_1C_1} = \frac{AC}{A_1B_1}$) и углы между этими сторонами равны ($\angle A = \angle A_1$), то по второму признаку подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle A_1C_1B_1$.

Коэффициент подобия $k$ равен $3,5$. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{BC}{C_1B_1} = 3,5$. Отсюда получаем, что $BC = 3,5 \cdot B_1C_1$.

По условию, сумма длин этих сторон равна 18 см: $BC + B_1C_1 = 18$. Подставим в это равенство выражение для $BC$, полученное из подобия:

$3,5 \cdot B_1C_1 + B_1C_1 = 18$

$4,5 \cdot B_1C_1 = 18$

$B_1C_1 = \frac{18}{4,5} = \frac{180}{45} = 4$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$: $BC = 3,5 \cdot B_1C_1 = 3,5 \cdot 4 = 14$ см.

Ответ: $BC = 14$ см, $B_1C_1 = 4$ см.