Номер 154, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 28, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 28

$15$, $47^\circ$, $18$, $10$, $47^\circ$, $12$.

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 28, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 28

$B$ $15$ $47^\circ$ $18$ $A$ $C$

$B_1$ $10$ $47^\circ$ $12$ $A_1$ $C_1$

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим данные для каждого треугольника:

• В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB = 15$ см, $BC = 18$ см и угол между ними $\angle B = 47^\circ$.
• В треугольнике $A_1B_1C_1$ даны стороны $A_1B_1 = 10$ см, $B_1C_1 = 12$ см и угол между ними $\angle B_1 = 47^\circ$.

Проверим выполнение двух условий этого признака.

1. Равенство углов

Углы, заключённые между данными сторонами в обоих треугольниках, равны:

$\angle B = \angle B_1 = 47^\circ$

Первое условие выполняется.

2. Пропорциональность сторон

Найдём отношения длин соответственных сторон, образующих эти углы:

Отношение сторон $AB$ и $A_1B_1$: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Отношение сторон $BC$ и $B_1C_1$: $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Так как отношения равны $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{3}{2}$, то стороны пропорциональны. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия второго признака подобия выполнены, мы можем заключить, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$).

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), так как $\angle B = \angle B_1$ и стороны, образующие эти углы, пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$). Что и требовалось доказать.