Номер 157, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 29, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 29

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 29, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 29

Треугольник $ABC$

$AB = 15$

$BC = 21$

$AC = 27$

Треугольник $A_1B_1C_1$

$A_1B_1 = 5$

$B_1C_1 = 7$

$A_1C_1 = 9$

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся третьим признаком подобия треугольников (по трём сторонам). Согласно этому признаку, два треугольника являются подобными, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого.

Нам даны длины сторон треугольника $ABC$:

$AB = 15$ см, $BC = 21$ см, $AC = 27$ см.

И длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = 5$ см, $B_1C_1 = 7$ см, $A_1C_1 = 9$ см.

Чтобы проверить пропорциональность сторон, найдём отношения длин соответствующих сторон. Сопоставим наименьшую сторону с наименьшей, среднюю со средней и наибольшую с наибольшей.

1. Отношение длин сторон $AB$ и $A_1B_1$:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{5} = 3$

2. Отношение длин сторон $BC$ и $B_1C_1$:

$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{21}{7} = 3$

3. Отношение длин сторон $AC$ и $A_1C_1$:

$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{27}{9} = 3$

Так как отношения всех трёх пар соответствующих сторон равны одному и тому же числу, мы можем записать:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 3$

Поскольку стороны треугольников пропорциональны, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по третьему признаку подобия. Коэффициент подобия $k$ равен 3.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как их соответствующие стороны пропорциональны ($\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{27}{9} = 3$), что соответствует третьему признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.