Страница 23 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB : A_1C_1 = AC : A_1B_1 = 3,5$, $\angle A = \angle A_1$. Найдите стороны $BC$ и $B_1C_1$, если их сумма равна 18 см.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ $AB : A_1 C_1 = AC : A_1 B_1 = 3.5$, $\angle A = \angle A_1$. Найдите стороны $BC$ и $B_1 C_1$, если их сумма равна 18 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи даны следующие соотношения: $\frac{AB}{A_1C_1} = 3,5$, $\frac{AC}{A_1B_1} = 3,5$ и $\angle A = \angle A_1$.

Сравним треугольник $ABC$ с треугольником $A_1C_1B_1$ (обратите внимание на порядок вершин). В $\triangle ABC$ стороны $AB$ и $AC$ образуют угол $\angle A$. В $\triangle A_1C_1B_1$ стороны $A_1C_1$ и $A_1B_1$ образуют угол $\angle A_1$. Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\frac{AB}{A_1C_1} = \frac{AC}{A_1B_1}$) и углы между этими сторонами равны ($\angle A = \angle A_1$), то по второму признаку подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle A_1C_1B_1$.

Коэффициент подобия $k$ равен $3,5$. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{BC}{C_1B_1} = 3,5$. Отсюда получаем, что $BC = 3,5 \cdot B_1C_1$.

По условию, сумма длин этих сторон равна 18 см: $BC + B_1C_1 = 18$. Подставим в это равенство выражение для $BC$, полученное из подобия:

$3,5 \cdot B_1C_1 + B_1C_1 = 18$

$4,5 \cdot B_1C_1 = 18$

$B_1C_1 = \frac{18}{4,5} = \frac{180}{45} = 4$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$: $BC = 3,5 \cdot B_1C_1 = 3,5 \cdot 4 = 14$ см.

Ответ: $BC = 14$ см, $B_1C_1 = 4$ см.

156. В треугольнике $ABC$ $AB = 16$ см, $AC = 20$ см. На стороне $AB$ отложили отрезок $AD$, равный $12$ см, а на стороне $AC$ — отрезок $AE$, равный $15$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADE$?

156. В треугольнике $ABC$ $AB = 16$ см, $AC = 20$ см. На стороне $AB$ отложили отрезок $AD$, равный $12$ см, а на стороне $AC$ — отрезок $AE$, равный $15$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADE$?

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $ADE$, воспользуемся признаком подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADE$. У них есть общий угол $ \angle A $ (то есть, $ \angle BAC = \angle DAE $).

Теперь проверим, пропорциональны ли стороны, образующие этот общий угол. По условию нам даны длины сторон:
Для треугольника $ABC$: $AB = 16$ см, $AC = 20$ см.
Для треугольника $ADE$: $AD = 12$ см, $AE = 15$ см.

Найдем отношение соответствующих сторон. Сравним отношение стороны $AD$ к $AB$ и стороны $AE$ к $AC$.

Вычислим первое отношение:
$ \frac{AD}{AB} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $

Вычислим второе отношение:
$ \frac{AE}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $

Так как отношения сторон равны $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{4} $ и угол $A$ между этими сторонами является общим, то треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников.

Ответ: да, треугольники $ABC$ и $ADE$ подобны.

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 29, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 29

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 29, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 29

Треугольник $ABC$

$AB = 15$

$BC = 21$

$AC = 27$

Треугольник $A_1B_1C_1$

$A_1B_1 = 5$

$B_1C_1 = 7$

$A_1C_1 = 9$

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся третьим признаком подобия треугольников (по трём сторонам). Согласно этому признаку, два треугольника являются подобными, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого.

Нам даны длины сторон треугольника $ABC$:

$AB = 15$ см, $BC = 21$ см, $AC = 27$ см.

И длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = 5$ см, $B_1C_1 = 7$ см, $A_1C_1 = 9$ см.

Чтобы проверить пропорциональность сторон, найдём отношения длин соответствующих сторон. Сопоставим наименьшую сторону с наименьшей, среднюю со средней и наибольшую с наибольшей.

1. Отношение длин сторон $AB$ и $A_1B_1$:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{5} = 3$

2. Отношение длин сторон $BC$ и $B_1C_1$:

$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{21}{7} = 3$

3. Отношение длин сторон $AC$ и $A_1C_1$:

$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{27}{9} = 3$

Так как отношения всех трёх пар соответствующих сторон равны одному и тому же числу, мы можем записать:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 3$

Поскольку стороны треугольников пропорциональны, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по третьему признаку подобия. Коэффициент подобия $k$ равен 3.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как их соответствующие стороны пропорциональны ($\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{27}{9} = 3$), что соответствует третьему признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.

158. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1) 5 см, 8 см, 9 см и 15 см, 24 см, 27 см;

2) 2 см, 5 см, 6 см и 8 см, 20 см, 30 см?

158. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1) 5 см, 8 см, 9 см и 15 см, 24 см, 27 см;

2) 2 см, 5 см, 6 см и 8 см, 20 см, 30 см?

1)

Два треугольника подобны по третьему признаку (по трем сторонам), если их соответственные стороны пропорциональны. Проверим это условие для данных треугольников.
Стороны первого треугольника: 5 см, 8 см, 9 см.
Стороны второго треугольника: 15 см, 24 см, 27 см.
Для проверки пропорциональности упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию и найдем отношения длин соответственных сторон (наименьшей к наименьшей, средней к средней и наибольшей к наибольшей).
Отношение наименьших сторон: $15 / 5 = 3$.
Отношение средних сторон: $24 / 8 = 3$.
Отношение наибольших сторон: $27 / 9 = 3$.
Так как все три отношения равны, $15/5 = 24/8 = 27/9 = 3$, то стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.

Ответ: да, треугольники подобны.

2)

Аналогично проверим пропорциональность сторон для второй пары треугольников.
Стороны первого треугольника: 2 см, 5 см, 6 см.
Стороны второго треугольника: 8 см, 20 см, 30 см.
Упорядочим стороны и найдем отношения.
Отношение наименьших сторон: $8 / 2 = 4$.
Отношение средних сторон: $20 / 5 = 4$.
Отношение наибольших сторон: $30 / 6 = 5$.
Так как отношения не равны ($4 \neq 5$), стороны треугольников не являются пропорциональными. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Ответ: нет, треугольники не подобны.

159. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADC$, изображённые на рисунке 30 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 30

$AB = 12$

$BC = 8$

$AC = 18$

$AD = 27$

$DC = 12$

159. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADC$, изображённые на рисунке 30 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 30

$AB = 12$

$BC = 8$

$AC = 18$

$CD = 12$

$AD = 27$

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $ADC$, воспользуемся признаком подобия треугольников по трем сторонам. Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого.

Выпишем длины сторон каждого треугольника, указанные на рисунке:

Стороны треугольника $ABC$: $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, $AC = 18$ см.

Стороны треугольника $ADC$: $CD = 12$ см, $AC = 18$ см, $AD = 27$ см.

Чтобы проверить, пропорциональны ли стороны, сопоставим их, упорядочив по возрастанию длины для каждого треугольника:

Стороны $\triangle ABC$ в порядке возрастания: $8, 12, 18$.

Стороны $\triangle ADC$ в порядке возрастания: $12, 18, 27$.

Теперь составим отношения длин соответствующих сторон (наименьшей к наименьшей, средней к средней, наибольшей к наибольшей):

Отношение наименьших сторон: $\frac{BC}{CD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Отношение средних сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Отношение наибольших сторон: $\frac{AC}{AD} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.

Так как все три отношения равны одному и тому же числу ($\frac{2}{3}$), то стороны треугольников пропорциональны:

$\frac{BC}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{2}{3}$

Следовательно, по признаку подобия по трем сторонам, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $ACD$.

Ответ: да, треугольники $ABC$ и $ADC$ подобны.

160. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны. Найдите отрезки $CD$ и $CE$, если $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см, $DE = 2$ см.

160. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны. Найдите отрезки $CD$ и $CE$, если $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см, $DE = 2$ см.

Докажите, что треугольники ABC и EDC подобны

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EDC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников, следовательно, $\angle ACB = \angle ECD$.

2. По условию, через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, которая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. Это означает, что точки $A, B, E, D$ лежат на одной окружности, а четырехугольник $ABED$ является вписанным в эту окружность.

По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BAE + \angle BDE = 180^\circ$. Углы $\angle CDE$ и $\angle BDE$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle CDE + \angle BDE = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CDE = \angle BAE$. Так как $\angle BAE$ это угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$, то $\angle CDE = \angle BAC$.

Итак, мы имеем два угла одного треугольника, которые соответственно равны двум углам другого треугольника:

• $\angle ACB = \angle ECD$ (общий угол)
• $\angle BAC = \angle CDE$ (по свойству вписанного четырехугольника)

Следовательно, треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Важно правильно определить соответствие вершин: углу $C$ в $\triangle ABC$ соответствует угол $C$ в $\triangle EDC$, углу $A$ соответствует угол $E$ (так как $\angle CED = \angle CBA$ по аналогии), а углу $B$ соответствует угол $D$. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle EDC$.

Ответ: Подобие треугольников $ABC$ и $EDC$ доказано.

Найдите отрезки CD и CE

Из доказанного подобия $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответствие вершин: $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow C$.

Запишем отношение соответственных сторон:

$\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{DC} = \frac{AB}{ED}$

Подставим известные из условия значения: $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см, $DE = 2$ см (длина отрезка $ED$ равна длине отрезка $DE$).

$\frac{5}{CE} = \frac{6}{CD} = \frac{8}{2}$

Из правой части пропорции находим коэффициент подобия $k$ (отношение сторон большего треугольника к меньшему):

$k = \frac{8}{2} = 4$

Теперь, используя этот коэффициент, можем найти длины искомых отрезков $CD$ и $CE$:

1. Из равенства $\frac{6}{CD} = 4$ находим $CD$:

$CD = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

2. Из равенства $\frac{5}{CE} = 4$ находим $CE$:

$CE = \frac{5}{4} = 1.25$ см.

Ответ: $CD = 1.5$ см, $CE = 1.25$ см.