Страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Стороны треугольника относятся как $7 : 6 : 3$. Найдите стороны подобного ему треугольника, если:

1) его периметр равен 8 см;

2) его наименьшая сторона равна 6 см;

3) разность его наибольшей и наименьшей сторон равна 20 см.

134. Стороны треугольника относятся как $7 : 6 : 3$. Найдите стороны подобного ему треугольника, если:

1) его периметр равен 8 см;

2) его наименьшая сторона равна 6 см;

3) разность его наибольшей и наименьшей сторон равна 20 см.

Поскольку искомый треугольник подобен исходному, соотношение его сторон будет таким же: 7 : 6 : 3. Обозначим стороны искомого треугольника как $a$, $b$ и $c$, где $a$ — наибольшая сторона, а $c$ — наименьшая. Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности, тогда стороны треугольника можно выразить как:

$a = 7k$

$b = 6k$

$c = 3k$

1) его периметр равен 8 см

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Составим уравнение, используя данные условия:

$7k + 6k + 3k = 8$

$16k = 8$

$k = \frac{8}{16} = 0.5$

Теперь найдем длины сторон треугольника:

$a = 7 \cdot 0.5 = 3.5$ см

$b = 6 \cdot 0.5 = 3$ см

$c = 3 \cdot 0.5 = 1.5$ см

Ответ: 3,5 см, 3 см, 1,5 см.

2) его наименьшая сторона равна 6 см

Наименьшая сторона треугольника — это $c = 3k$. По условию, она равна 6 см.

Составим уравнение:

$3k = 6$

$k = \frac{6}{3} = 2$

Теперь найдем длины остальных сторон:

$a = 7 \cdot 2 = 14$ см

$b = 6 \cdot 2 = 12$ см

$c = 3 \cdot 2 = 6$ см

Ответ: 14 см, 12 см, 6 см.

3) разность его наибольшей и наименьшей сторон равна на 20 см

Наибольшая сторона — $a = 7k$, наименьшая сторона — $c = 3k$. Их разность равна 20 см.

Составим уравнение:

$7k - 3k = 20$

$4k = 20$

$k = \frac{20}{4} = 5$

Теперь найдем длины сторон треугольника:

$a = 7 \cdot 5 = 35$ см

$b = 6 \cdot 5 = 30$ см

$c = 3 \cdot 5 = 15$ см

Ответ: 35 см, 30 см, 15 см.

135. Известно, что $\triangle ABC \overset{1,4}{\sim} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB + A_1B_1 = 36$ см и $AB : BC : AC = 3 : 7 : 8$.

135. Известно, что $\Delta ABC \sim^{1,4} \Delta A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB + A_1B_1 = 36$ см и $AB : BC : AC = 3 : 7 : 8$.

По условию, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Из записи $ \triangle ABC \sim^{1,4} \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что коэффициент подобия $ k = \frac{A_1B_1}{AB} = 1.4 $.

Соотношение сторон треугольника $ \triangle ABC $ задано как $ AB : BC : AC = 3 : 7 : 8 $. Введем коэффициент пропорциональности $ x $. Тогда длины сторон треугольника $ \triangle ABC $ можно выразить следующим образом:
$ AB = 3x $
$ BC = 7x $
$ AC = 8x $

Используя коэффициент подобия, выразим сторону $ A_1B_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ через $ x $:
$ A_1B_1 = k \cdot AB = 1.4 \cdot (3x) = 4.2x $

В условии дано, что сумма длин сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $ равна 36 см. Составим и решим уравнение:
$ AB + A_1B_1 = 36 $
$ 3x + 4.2x = 36 $
$ 7.2x = 36 $
$ x = \frac{36}{7.2} = \frac{360}{72} = 5 $

Теперь, зная, что $ x = 5 $, можем вычислить длины всех сторон обоих треугольников.
Стороны треугольника $ \triangle ABC $:
$ AB = 3x = 3 \cdot 5 = 15 $ см
$ BC = 7x = 7 \cdot 5 = 35 $ см
$ AC = 8x = 8 \cdot 5 = 40 $ см

Стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:
$ A_1B_1 = k \cdot AB = 1.4 \cdot 15 = 21 $ см
$ B_1C_1 = k \cdot BC = 1.4 \cdot 35 = 49 $ см
$ A_1C_1 = k \cdot AC = 1.4 \cdot 40 = 56 $ см

Проверка: $ AB + A_1B_1 = 15 + 21 = 36 $ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны треугольника $ \triangle ABC $ равны 15 см, 35 см, 40 см; стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны 21 см, 49 см, 56 см.

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 22, если известно, что $BD \parallel CE$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{AC}{CE}$;

2) $\frac{BD}{CE}$.

Рис. 22

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 22, если известно, что $BD \parallel CE$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{AC}{CE}$;

2) $\frac{BD}{CE}$.

Рис. 22

Сначала найдем подобные треугольники на рисунке. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACE $.

По условию задачи, отрезок $ BD $ параллелен отрезку $ CE $ ($ BD \parallel CE $).

Так как $ BD \parallel CE $, то мы можем утверждать следующее:

• Угол $ \angle A $ (или $ \angle DAE $) является общим для обоих треугольников.
• Углы $ \angle ABD $ и $ \angle ACE $ являются соответственными углами при параллельных прямых $ BD $ и $ CE $ и секущей $ AC $, следовательно, они равны: $ \angle ABD = \angle ACE $.
• Аналогично, углы $ \angle ADB $ и $ \angle AEC $ являются соответственными углами при параллельных прямых $ BD $ и $ CE $ и секущей $ AE $, следовательно, они равны: $ \angle ADB = \angle AEC $.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Таким образом, $ \triangle ABD \sim \triangle ACE $ (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE} $

Теперь, используя это соотношение, запишем требуемые пропорции.

1) $ \frac{AC}{CE} $

Чтобы составить пропорцию, начинающуюся с отношения $ \frac{AC}{CE} $, воспользуемся равенством двух отношений из доказанного выше подобия: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} $.

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ AB \cdot CE = AC \cdot BD $

Чтобы выделить отношение $ \frac{AC}{CE} $, разделим обе части этого равенства на произведение $ CE \cdot BD $ (считая, что длины отрезков не равны нулю):

$ \frac{AB \cdot CE}{CE \cdot BD} = \frac{AC \cdot BD}{CE \cdot BD} $

После сокращения дробей получаем искомую пропорцию:

$ \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE} $

Ответ: $ \frac{AC}{CE} = \frac{AB}{BD} $

2) $ \frac{BD}{CE} $

Отношение $ \frac{BD}{CE} $ является одним из отношений в основной пропорции, которую мы получили из подобия треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACE $.

Как было установлено, $ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE} $.

Таким образом, мы можем записать пропорцию, начинающуюся с данного отношения, приравняв его к двум другим отношениям соответственных сторон:

$ \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} $

Ответ: $ \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} $

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ трапеции равно 12 см, $AE = 15$ см, $BE = 5$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ трапеции равно 12 см, $AE = 15$ см, $BE = 5$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle EBC$ и $\triangle EAD$.

По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle EAD$.

• Угол $\angle E$ является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle EBC$ и $\angle EAD$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AE$. Следовательно, эти углы равны: $\angle EBC = \angle EAD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по первому признаку подобия). Таким образом, $\triangle EBC \sim \triangle EAD$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{EB}{EA} = \frac{EC}{ED} = \frac{BC}{AD}$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• $AD = 12$ см (большее основание)
• $AE = 15$ см
• $BE = 5$ см

Подставим известные значения в пропорцию, чтобы найти длину меньшего основания $BC$:

$\frac{BE}{AE} = \frac{BC}{AD}$

$\frac{5}{15} = \frac{BC}{12}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{3} = \frac{BC}{12}$

Теперь выразим $BC$:

$BC = \frac{12 \cdot 1}{3}$

$BC = 4$ см.

Ответ: 4 см.

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADEF$ (рис. 23). Найдите сторону $AC$ треугольника, если $AB = 20$ см, $FE = 12$ см, $AF = 14$ см.

Рис. 23

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADEF$ (рис. 23). Найдите сторону $AC$ треугольника, если $AB = 20$ см, $FE = 12$ см, $AF = 14$ см.

Рис. 23

По условию задачи, четырехугольник ADEF является параллелограммом. Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны и параллельны.

Следовательно, мы имеем следующие равенства и соотношения:

1. Сторона AD равна противоположной стороне FE. Так как FE = 12 см, то $AD = 12$ см.

2. Сторона DE равна противоположной стороне AF. Так как AF = 14 см, то $DE = 14$ см.

3. Сторона DE параллельна стороне AF. Поскольку точка F лежит на стороне AC, то прямая DE параллельна прямой AC ($DE \parallel AC$).

Точка D лежит на отрезке AB. Зная длины AB и AD, мы можем найти длину отрезка BD:

$BD = AB - AD = 20 \text{ см} - 12 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Рассмотрим треугольники BDE и BAC. Поскольку прямая DE параллельна прямой AC, эти треугольники подобны (ΔBDE ~ ΔBAC). Подобие следует из равенства углов:

• $∠ABC$ — общий угол для обоих треугольников.
• $∠BDE = ∠BAC$ — как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}$

Подставим известные нам значения в эту пропорцию:

$\frac{8}{20} = \frac{14}{AC}$

Выразим AC из этого уравнения:

$AC = \frac{14 \times 20}{8} = \frac{280}{8} = 35 \text{ см}$

Ответ: 35 см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AKPE$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $P$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 6$ см, $AC = 3$ см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AKPE$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $P$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 6$ см, $AC = 3$ см.

Пусть сторона ромба $AKPE$ равна $x$ см. По определению ромба, все его стороны равны, поэтому $AK = PE = EA = KP = x$. Так как вершина $K$ ромба лежит на стороне $AB$ треугольника, а вершина $E$ — на стороне $AC$, то $AK = x$ и $AE = x$.

По свойству ромба, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $PE$ параллельна стороне $AK$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AB$, то прямая, содержащая $PE$, параллельна прямой, содержащей $AB$, то есть $PE \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CPE$ и $\triangle CBA$.
1. Угол $C$ у них общий.
2. Угол $\angle CPE$ равен углу $\angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $PE$ и $AB$ и секущей $BC$.
Следовательно, треугольник $\triangle CPE$ подобен треугольнику $\triangle CBA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{PE}{AB} = \frac{CE}{AC}$

Подставим в это соотношение известные и выраженные через $x$ длины отрезков:
- Сторона ромба $PE = x$.
- Сторона треугольника $AB = 6$ см.
- Сторона треугольника $AC = 3$ см.
- Отрезок $CE$ равен разности длин $AC$ и $AE$: $CE = AC - AE = 3 - x$.

Получаем следующее уравнение:
$\frac{x}{6} = \frac{3 - x}{3}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:
$3 \cdot x = 6 \cdot (3 - x)$
$3x = 18 - 6x$
$3x + 6x = 18$
$9x = 18$
$x = \frac{18}{9}$
$x = 2$

Таким образом, длина стороны ромба составляет 2 см.
Ответ: 2 см.

140. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к ней, — 4 см. В треугольник вписан прямоугольник, большая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $5 : 9$.

140. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, — 4 см. В треугольник вписан прямоугольник, большая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $5 : 9$.

Решение:

Обозначим данный треугольник как $ABC$, где сторона $AC = 12$ см. Проведем высоту $BH$ к стороне $AC$, по условию $BH = 4$ см.

В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его большая сторона $KL$ лежит на стороне $AC$, а вершины $M$ и $N$ лежат на сторонах $BC$ и $AB$ соответственно. Сторона $MN$ прямоугольника параллельна стороне $AC$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение равно $5:9$. Так как большая сторона прямоугольника лежит на стороне треугольника, то $b$ — это длина стороны $KL$, а $a$ — это высота прямоугольника, т.е. $a = KN = LM$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны прямоугольника будут:
$a = 5x$ (высота прямоугольника)
$b = 9x$ (основание прямоугольника, $KL = MN = 9x$)

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $NBM$. Прямая $NM$ параллельна прямой $AC$, следовательно, треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $B$ — общий, $\angle BNM = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $NM$ и $AC$ и секущей $AB$).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот.
Высота большого треугольника $ABC$ — это $BH = 4$ см.
Проведем высоту $BP$ треугольника $NBM$ из вершины $B$ на сторону $NM$. Длина этой высоты будет равна разности высоты $BH$ и высоты прямоугольника $a$.
$BP = BH - PH = BH - a = 4 - 5x$.

Теперь составим пропорцию, используя отношение высот и оснований подобных треугольников:
$\frac{BP}{BH} = \frac{NM}{AC}$

Подставим известные значения и выражения в пропорцию:
$\frac{4 - 5x}{4} = \frac{9x}{12}$

Сократим дробь в правой части уравнения:
$\frac{4 - 5x}{4} = \frac{3x}{4}$

Так как знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
$4 - 5x = 3x$
$4 = 3x + 5x$
$4 = 8x$
$x = \frac{4}{8} = 0.5$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x$:
Меньшая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 0.5 = 2.5$ см.
Большая сторона: $b = 9x = 9 \cdot 0.5 = 4.5$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2,5 см и 4,5 см.