Номер 136, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 22, если известно, что $BD \parallel CE$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{AC}{CE}$;

2) $\frac{BD}{CE}$.

Рис. 22

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 22, если известно, что $BD \parallel CE$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{AC}{CE}$;

2) $\frac{BD}{CE}$.

Рис. 22

Сначала найдем подобные треугольники на рисунке. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACE $.

По условию задачи, отрезок $ BD $ параллелен отрезку $ CE $ ($ BD \parallel CE $).

Так как $ BD \parallel CE $, то мы можем утверждать следующее:

• Угол $ \angle A $ (или $ \angle DAE $) является общим для обоих треугольников.
• Углы $ \angle ABD $ и $ \angle ACE $ являются соответственными углами при параллельных прямых $ BD $ и $ CE $ и секущей $ AC $, следовательно, они равны: $ \angle ABD = \angle ACE $.
• Аналогично, углы $ \angle ADB $ и $ \angle AEC $ являются соответственными углами при параллельных прямых $ BD $ и $ CE $ и секущей $ AE $, следовательно, они равны: $ \angle ADB = \angle AEC $.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Таким образом, $ \triangle ABD \sim \triangle ACE $ (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE} $

Теперь, используя это соотношение, запишем требуемые пропорции.

1) $ \frac{AC}{CE} $

Чтобы составить пропорцию, начинающуюся с отношения $ \frac{AC}{CE} $, воспользуемся равенством двух отношений из доказанного выше подобия: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} $.

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ AB \cdot CE = AC \cdot BD $

Чтобы выделить отношение $ \frac{AC}{CE} $, разделим обе части этого равенства на произведение $ CE \cdot BD $ (считая, что длины отрезков не равны нулю):

$ \frac{AB \cdot CE}{CE \cdot BD} = \frac{AC \cdot BD}{CE \cdot BD} $

После сокращения дробей получаем искомую пропорцию:

$ \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE} $

Ответ: $ \frac{AC}{CE} = \frac{AB}{BD} $

2) $ \frac{BD}{CE} $

Отношение $ \frac{BD}{CE} $ является одним из отношений в основной пропорции, которую мы получили из подобия треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACE $.

Как было установлено, $ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE} $.

Таким образом, мы можем записать пропорцию, начинающуюся с данного отношения, приравняв его к двум другим отношениям соответственных сторон:

$ \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} $

Ответ: $ \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} $