Номер 137, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ трапеции равно 12 см, $AE = 15$ см, $BE = 5$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ трапеции равно 12 см, $AE = 15$ см, $BE = 5$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle EBC$ и $\triangle EAD$.

По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle EAD$.

• Угол $\angle E$ является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle EBC$ и $\angle EAD$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AE$. Следовательно, эти углы равны: $\angle EBC = \angle EAD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по первому признаку подобия). Таким образом, $\triangle EBC \sim \triangle EAD$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{EB}{EA} = \frac{EC}{ED} = \frac{BC}{AD}$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• $AD = 12$ см (большее основание)
• $AE = 15$ см
• $BE = 5$ см

Подставим известные значения в пропорцию, чтобы найти длину меньшего основания $BC$:

$\frac{BE}{AE} = \frac{BC}{AD}$

$\frac{5}{15} = \frac{BC}{12}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{3} = \frac{BC}{12}$

Теперь выразим $BC$:

$BC = \frac{12 \cdot 1}{3}$

$BC = 4$ см.

Ответ: 4 см.