Номер 139, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AKPE$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $P$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 6$ см, $AC = 3$ см.

139. В треугольник $ABC$ вписан ромб $AKPE$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $P$ принадлежит стороне $BC$. Найдите сторону ромба, если $AB = 6$ см, $AC = 3$ см.

Пусть сторона ромба $AKPE$ равна $x$ см. По определению ромба, все его стороны равны, поэтому $AK = PE = EA = KP = x$. Так как вершина $K$ ромба лежит на стороне $AB$ треугольника, а вершина $E$ — на стороне $AC$, то $AK = x$ и $AE = x$.

По свойству ромба, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $PE$ параллельна стороне $AK$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AB$, то прямая, содержащая $PE$, параллельна прямой, содержащей $AB$, то есть $PE \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CPE$ и $\triangle CBA$.
1. Угол $C$ у них общий.
2. Угол $\angle CPE$ равен углу $\angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $PE$ и $AB$ и секущей $BC$.
Следовательно, треугольник $\triangle CPE$ подобен треугольнику $\triangle CBA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{PE}{AB} = \frac{CE}{AC}$

Подставим в это соотношение известные и выраженные через $x$ длины отрезков:
- Сторона ромба $PE = x$.
- Сторона треугольника $AB = 6$ см.
- Сторона треугольника $AC = 3$ см.
- Отрезок $CE$ равен разности длин $AC$ и $AE$: $CE = AC - AE = 3 - x$.

Получаем следующее уравнение:
$\frac{x}{6} = \frac{3 - x}{3}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:
$3 \cdot x = 6 \cdot (3 - x)$
$3x = 18 - 6x$
$3x + 6x = 18$
$9x = 18$
$x = \frac{18}{9}$
$x = 2$

Таким образом, длина стороны ромба составляет 2 см.
Ответ: 2 см.