Номер 146, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

146. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой BC и AD — основания, а AC и BD — диагонали, пересекающиеся в точке O.

Согласно условию, длина одной из диагоналей равна 28 см. Пусть это будет диагональ AC, то есть $AC = 28$ см. Другая диагональ (BD) делится точкой пересечения O на отрезки длиной 5 см и 9 см. Таким образом, $BO = 5$ см и $OD = 9$ см (или наоборот, это не повлияет на конечное соотношение).

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Эти треугольники подобны, так как:

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные.
2. Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD (основания трапеции) и секущей BD.

Из подобия треугольников $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ следует, что их стороны пропорциональны: $$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} $$

Подставив известные значения, получим отношение, в котором точка O делит диагональ AC: $$ \frac{CO}{AO} = \frac{5}{9} $$

Это означает, что отрезки CO и AO относятся как 5 к 9. Пусть $CO = 5k$ и $AO = 9k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали AC: $$ AO + CO = AC $$ $$ 9k + 5k = 28 $$ $$ 14k = 28 $$ $$ k = \frac{28}{14} = 2 $$

Теперь мы можем найти длины искомых отрезков:
$CO = 5k = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$AO = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: точка пересечения диагоналей делит данную диагональ на отрезки длиной 10 см и 18 см.