Страница 21 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. На рисунке 24 $\angle BAC = \angle ACD$. Подобны ли треугольники $ABE$ и $CDE$? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 24

141. На рисунке 24 $\angle BAC = \angle ACD$. Подобны ли треугольники $ABE$ и $CDE$? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 24

Рассмотрим треугольники $ΔABE$ и $ΔCDE$. Чтобы определить, являются ли они подобными, сравним их углы.

1. По условию задачи $∠BAC = ∠ACD$. Так как точки $A$, $E$, $C$ лежат на одной прямой, то $∠BAE = ∠BAC$ и $∠ECD = ∠ACD$. Следовательно, первая пара равных углов: $∠BAE = ∠ECD$.

2. Углы $∠AEB$ и $∠CED$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов они равны: $∠AEB = ∠CED$. Это вторая пара равных углов.

Поскольку два угла треугольника $ABE$ соответственно равны двум углам треугольника $CDE$, то по первому признаку подобия треугольников (по двум углам) можно заключить, что $ΔABE \sim ΔCDE$.

Так как треугольники подобны, мы можем указать пары соответственных сторон. Соответственными являются стороны, лежащие напротив равных углов.

• Стороны $AB$ и $CD$ лежат напротив равных углов $∠AEB$ и $∠CED$.
• Стороны $BE$ и $DE$ лежат напротив равных углов $∠BAE$ и $∠ECD$.
• Стороны $AE$ и $CE$ лежат напротив третьей пары равных углов $∠ABE$ и $∠CDE$.

Ответ: Да, треугольники $ABE$ и $CDE$ подобны. Пары соответственных сторон: $AB$ и $CD$; $BE$ и $DE$; $AE$ и $CE$.

142. На рисунке 25 $\angle ABC = \angle BDC$. Найдите подобные треугольники на рисунке и докажите их подобие.

Рис. 25

142. На рисунке 25 $ \angle ABC = \angle BDC $. Найдите подобные треугольники на рисунке и докажите их подобие.

Рис. 25

(Изображение треугольника ABC с точкой D на AC, где угол ABC равен углу BDC.)

Подобными треугольниками на рисунке являются $\triangle ABC$ и $\triangle BDC$. Докажем их подобие.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $BDC$.

• $\angle C$ — является общим углом для обоих треугольников.
• $\angle ABC = \angle BDC$ — согласно условию задачи.

Так как два угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle BDC$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle BDC$.

Ответ: Подобными являются треугольники $ABC$ и $BDC$ ($\triangle ABC \sim \triangle BDC$). Подобие доказывается по первому признаку (по двум углам), так как угол $C$ у них общий, а $\angle ABC = \angle BDC$ по условию.

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $BF$ (рис. 26). Докажите подобие треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CBF$.

Рис. 26

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $BF$ (рис. 26). Докажите подобие треугольников $ABE$ и $CBF$.

Рис. 26

Для доказательства подобия треугольников $ABE$ и $CBF$ воспользуемся первым признаком подобия треугольников — по двум равным углам.

1. Рассмотрим углы $\angle AEB$ и $\angle BFC$. По условию, $BE$ и $BF$ — высоты параллелограмма $ABCD$. Это означает, что $BE$ перпендикулярна стороне $AD$, а $BF$ перпендикулярна стороне $CD$. Следовательно, треугольники $ABE$ и $CBF$ являются прямоугольными. Угол $\angle AEB = 90^\circ$ и угол $\angle BFC = 90^\circ$. Таким образом, мы имеем первую пару равных углов: $\angle AEB = \angle BFC$.

2. Рассмотрим углы $\angle BAE$ и $\angle BCF$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие углы равны. Значит, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $C$. То есть, $\angle BAE = \angle BCF$. Это вторая пара равных углов в рассматриваемых треугольниках.

Поскольку два угла треугольника $ABE$ (а именно $\angle AEB$ и $\angle BAE$) соответственно равны двум углам треугольника $CBF$ (а именно $\angle BFC$ и $\angle BCF$), то по признаку подобия по двум углам, треугольники $ABE$ и $CBF$ подобны: $\triangle ABE \sim \triangle CBF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABE$ и $CBF$ подобны по двум углам, так как $\angle AEB = \angle BFC = 90^\circ$ (поскольку $BE$ и $BF$ — высоты) и $\angle BAE = \angle BCF$ (как противолежащие углы параллелограмма).

144. Стороны параллелограмма равны 15 см и 30 см, а расстояние между меньшими сторонами — 20 см. Найдите расстояние между большими сторонами параллелограмма.

144. Стороны параллелограмма равны 15 см и 30 см, а расстояние между меньшими сторонами — 20 см. Найдите расстояние между большими сторонами параллелограмма.

Площадь параллелограмма ($S$) можно вычислить как произведение его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а соответствующие им высоты — $h_a$ и $h_b$. Тогда площадь можно найти двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

Из условия задачи имеем: меньшая сторона $a = 15$ см, большая сторона $b = 30$ см. Расстояние между меньшими сторонами является высотой, проведенной к большей стороне, следовательно, $h_b = 20$ см. Нам необходимо найти расстояние между большими сторонами, то есть высоту, проведенную к меньшей стороне, $h_a$.

Поскольку оба выражения вычисляют площадь одного и того же параллелограмма, мы можем их приравнять:$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Подставим известные значения в это равенство и решим его относительно $h_a$:$15 \cdot h_a = 30 \cdot 20$$15 \cdot h_a = 600$$h_a = \frac{600}{15}$$h_a = 40$ см.

Ответ: 40 см.

145. Периметр параллелограмма равен 70 см, а его высоты — 3 см и 4 см. Найдите стороны параллелограмма.

145. Периметр параллелограмма равен 70 см, а его высоты — 3 см и 4 см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 70 см. $2(a + b) = 70$ $a + b = 35$

Площадь параллелограмма можно найти, умножив сторону на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h_a$ или $S = b \cdot h_b$. Известно, что высоты равны 3 см и 4 см. В параллелограмме к большей стороне проводится меньшая высота, а к меньшей стороне — большая высота.

Пусть $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. Тогда высота, проведенная к стороне $a$, равна $h_a = 3$ см, а высота, проведенная к стороне $b$, равна $h_b = 4$ см.

Так как площадь параллелограмма одна и та же, мы можем приравнять два выражения для площади: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ $a \cdot 3 = b \cdot 4$ $3a = 4b$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} a + b = 35 \\ 3a = 4b \end{cases} $

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 35 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение: $3a = 4(35 - a)$ $3a = 140 - 4a$ $3a + 4a = 140$ $7a = 140$ $a = \frac{140}{7}$ $a = 20$ см.

Теперь найдем вторую сторону $b$: $b = 35 - a = 35 - 20 = 15$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны 20 см и 15 см.

Ответ: 20 см и 15 см.

146. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

146. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой BC и AD — основания, а AC и BD — диагонали, пересекающиеся в точке O.

Согласно условию, длина одной из диагоналей равна 28 см. Пусть это будет диагональ AC, то есть $AC = 28$ см. Другая диагональ (BD) делится точкой пересечения O на отрезки длиной 5 см и 9 см. Таким образом, $BO = 5$ см и $OD = 9$ см (или наоборот, это не повлияет на конечное соотношение).

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Эти треугольники подобны, так как:

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные.
2. Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD (основания трапеции) и секущей BD.

Из подобия треугольников $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ следует, что их стороны пропорциональны: $$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} $$

Подставив известные значения, получим отношение, в котором точка O делит диагональ AC: $$ \frac{CO}{AO} = \frac{5}{9} $$

Это означает, что отрезки CO и AO относятся как 5 к 9. Пусть $CO = 5k$ и $AO = 9k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали AC: $$ AO + CO = AC $$ $$ 9k + 5k = 28 $$ $$ 14k = 28 $$ $$ k = \frac{28}{14} = 2 $$

Теперь мы можем найти длины искомых отрезков:
$CO = 5k = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$AO = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: точка пересечения диагоналей делит данную диагональ на отрезки длиной 10 см и 18 см.

147. В трапеции ABCD $(BC \parallel AD)$ O — точка пересечения диагоналей, $(AO : OC = 5 : 2)$. Найдите большее основание трапеции, если её средняя линия равна 7 см.

147. В трапеции ABCD ($BC \parallel AD$) O — точка пересечения диагоналей, $AO : OC = 5 : 2$. Найдите большее основание трапеции, если её средняя линия равна 7 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC \parallel AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то:
1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle BCO = \angle DAO$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам. Из подобия следует, что отношение их соответственных сторон равно: $$ \frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} $$

По условию задачи дано отношение $AO : OC = 5 : 2$. Значит, и отношение оснований трапеции такое же: $$ \frac{AD}{BC} = \frac{5}{2} $$ Из этого соотношения следует, что $AD$ является большим основанием, а $BC$ — меньшим. Выразим $AD$ через $BC$: $AD = \frac{5}{2}BC$.

Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется по формуле: $$ m = \frac{AD + BC}{2} $$

По условию, средняя линия равна 7 см. Подставим это значение в формулу: $$ 7 = \frac{AD + BC}{2} $$ Отсюда получаем, что сумма оснований равна $AD + BC = 14$ см.

Теперь составим систему из двух уравнений:
1) $AD = \frac{5}{2}BC$
2) $AD + BC = 14$

Подставим выражение для $AD$ из первого уравнения во второе: $$ \frac{5}{2}BC + BC = 14 $$ $$ (\frac{5}{2} + 1)BC = 14 $$ $$ \frac{7}{2}BC = 14 $$

Теперь найдем длину меньшего основания $BC$: $$ BC = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4 \text{ см} $$

Зная $BC$, найдем длину большего основания $AD$, используя второе уравнение системы: $$ AD = 14 - BC = 14 - 4 = 10 \text{ см} $$

Ответ: 10 см.

148. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $\angle ACM = \angle ABC$, $AM = 9$ см, $BM = 7$ см. Найдите сторону $AC$.

148. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $\angle ACM = \angle ABC, AM = 9$ см, $BM = 7$ см. Найдите сторону $AC$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ACM $.

У этих треугольников угол $ \angle A $ (или $ \angle BAC $) является общим. Также, по условию задачи, $ \angle ABC = \angle ACM $.

Следовательно, треугольник $ \triangle ABC $ подобен треугольнику $ \triangle ACM $ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем пропорцию для сторон:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AM} = \frac{BC}{CM} $

Возьмем первую часть этой пропорции:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AM} $

Из этого соотношения мы можем выразить $ AC $ через $ AB $ и $ AM $:

$ AC^2 = AB \cdot AM $

Найдем длину стороны $ AB $. Поскольку точка $ M $ лежит на стороне $ AB $, то длина $ AB $ равна сумме длин отрезков $ AM $ и $ BM $:

$ AB = AM + BM = 9 \text{ см} + 7 \text{ см} = 16 \text{ см} $

Теперь подставим известные значения $ AB = 16 $ см и $ AM = 9 $ см в полученную формулу:

$ AC^2 = 16 \cdot 9 = 144 $

Чтобы найти длину стороны $ AC $, извлечем квадратный корень из 144. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня.

$ AC = \sqrt{144} = 12 \text{ см} $

Ответ: 12 см.