Страница 14 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Точки M и K окружности лежат по одну сторону от диаметра CD (рис. 11). Найдите угол CDK, если $ \angle DMK = 53^\circ $.

Рис. 11

92. Точки $M$ и $K$ окружности лежат по одну сторону от диаметра $CD$ (рис. 11). Найдите угол $CDK$, если $\angle DMK = 53^\circ$.

Рис. 11

Поскольку отрезок $CD$ является диаметром окружности, любой вписанный угол, опирающийся на этот диаметр, будет прямым. Угол $\angle CMD$ является вписанным и опирается на диаметр $CD$, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.

$\angle CMD = 90^\circ$

Из рисунка видно, что угол $\angle CMD$ состоит из двух углов: $\angle CMK$ и $\angle DMK$. Таким образом, мы можем записать равенство:

$\angle CMD = \angle CMK + \angle DMK$

Нам известны значения $\angle CMD = 90^\circ$ и $\angle DMK = 53^\circ$. Подставив их в равенство, мы можем найти величину угла $\angle CMK$:

$90^\circ = \angle CMK + 53^\circ$

$\angle CMK = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$

Теперь рассмотрим искомый угол $\angle CDK$. Углы $\angle CDK$ и $\angle CMK$ являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу $CK$. По свойству вписанных углов, если они опираются на одну и ту же дугу, то они равны.

$\angle CDK = \angle CMK$

Следовательно, $\angle CDK = 37^\circ$.

Ответ: $37^\circ$.

93. Две окружности пересекаются в точках C и D. Через точку C проведены диаметры CA и CB. Найдите углы CAB и CBA, если $\angle ACD = 55^\circ$, $\angle BCD = 70^\circ$.

93. Две окружности пересекаются в точках $C$ и $D$. Через точку $C$ проведены диаметры $CA$ и $CB$. Найдите углы $CAB$ и $CBA$, если $\angle ACD = 55^{\circ}$, $\angle BCD = 70^{\circ}$.

CAB

Рассмотрим первую окружность, в которой $CA$ является диаметром. Точки $A$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. В данном случае, угол $ADC$ опирается на диаметр $CA$, следовательно, он равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике:

$ \angle ADC = 90^\circ $

$ \angle ACD = 55^\circ $ (по условию)

Найдем третий угол, $\angle CAD$:

$ \angle CAD = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ $

Угол $\angle CAD$ является тем же углом, что и $\angle CAB$. Таким образом, $\angle CAB = 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$

CBA

Аналогично рассмотрим вторую окружность, в которой $CB$ является диаметром. Точки $B$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности. Угол $BDC$ опирается на диаметр $CB$, следовательно, он также равен $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Нам известны два угла в этом треугольнике:

$ \angle BDC = 90^\circ $

$ \angle BCD = 70^\circ $ (по условию)

Найдем третий угол, $\angle CBD$:

$ \angle CBD = 180^\circ - \angle BDC - \angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ $

Угол $\angle CBD$ является тем же углом, что и $\angle CBA$. Таким образом, $\angle CBA = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$

94. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AB$ и $KE$ (рис. 12). Найдите угол $ABE$, если $\angle PKE = 16^\circ$, $\angle BAP = 48^\circ$.

Рис. 12

94. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AB$ и $KE$ (рис. 12). Найдите угол $ABE$, если $\angle PKE = 16^\circ$, $\angle BAP = 48^\circ$.

Рис. 12

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle PKE$ является вписанным и опирается на дугу $PE$. Следовательно, градусная мера дуги $PE$ равна:

$\text{дуга } PE = 2 \cdot \angle PKE = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$.

Аналогично, вписанный угол $\angle BAP$ опирается на дугу $BP$. Значит, градусная мера дуги $BP$ равна:

$\text{дуга } BP = 2 \cdot \angle BAP = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$.

Градусная мера дуги $BE$ равна сумме градусных мер дуг, из которых она состоит, то есть дуг $BP$ и $PE$:

$\text{дуга } BE = \text{дуга } BP + \text{дуга } PE = 96^\circ + 32^\circ = 128^\circ$.

По условию, $AB$ — диаметр окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Дуга $AEB$ является одной из таких полуокружностей. Эта дуга состоит из дуг $AE$ и $BE$. Отсюда мы можем найти градусную меру дуги $AE$:

$\text{дуга } AE = \text{дуга } AEB - \text{дуга } BE = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

Искомый угол $\angle ABE$ является вписанным и опирается на дугу $AE$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги:

$\angle ABE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AE = \frac{1}{2} \cdot 52^\circ = 26^\circ$.

Ответ: $26^\circ$.

95. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$ (рис. 13). Найдите угол $AKC$, если $\cup AC = 36^\circ$, $\cup BD = 42^\circ$.

Рис. 13

95. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$ (рис. 13). Найдите угол $\angle AKC$, если $\cup AC = 36^\circ$, $\cup BD = 42^\circ$.

Рис. 13

Для решения этой задачи используется теорема об угле, образованном двумя пересекающимися хордами внутри окружности.

Решение:

Согласно теореме, величина угла, образованного пересечением двух хорд, равна половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В данном случае, хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. Угол, который необходимо найти, — это $ \angle AKC $. Вертикальным к нему является угол $ \angle BKD $. Эти углы высекают на окружности дуги $ \cup AC $ и $ \cup BD $.

Формула для нахождения величины угла $ \angle AKC $ выглядит следующим образом:
$ \angle AKC = \frac{\cup AC + \cup BD}{2} $

По условию задачи, нам даны градусные меры этих дуг: $ \cup AC = 36^\circ $ и $ \cup BD = 42^\circ $.

Подставим известные значения в формулу и произведем вычисления:
$ \angle AKC = \frac{36^\circ + 42^\circ}{2} $
$ \angle AKC = \frac{78^\circ}{2} $
$ \angle AKC = 39^\circ $

Ответ: $ 39^\circ $

96. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке K (рис. 14). Найдите угол AKC, если $\cup AC = 84^{\circ}$, $\cup BD = 28^{\circ}$.

Рис. 14

96. Хорды $AB$ и $CD$ окружности не пересекаются, а прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ (рис. 14). Найдите угол $AKC$, если $\cup AC = 84^\circ$, $\cup BD = 28^\circ$.

Рис. 14

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов и свойством внешнего угла треугольника. Выполним дополнительное построение: соединим точки A и D хордой AD.

1. Рассмотрим треугольник AKD. Угол $∠ADC$ является внешним углом для этого треугольника при вершине D? Нет, это не так. Рассмотрим другой подход.

Проведем хорду BC. Рассмотрим треугольник KBC.

Угол $∠ABC$ — это вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AC. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, мы можем найти величину угла $∠ABC$:

$∠ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 84° = 42°$

Угол $∠BCD$ — это вписанный угол, который опирается на дугу BD. Его величина также равна половине градусной меры этой дуги:

$∠BCD = \frac{1}{2} \cup BD = \frac{1}{2} \cdot 28° = 14°$

Теперь рассмотрим треугольник KBC. Угол $∠ABC$ является внешним углом этого треугольника при вершине B, так как он смежен с внутренним углом $∠KBC$ (точки K, B, A лежат на одной прямой). По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$∠ABC = ∠BKC + ∠BCK$

Из этой формулы мы можем выразить искомый угол $∠BKC$, который является тем же углом, что и $∠AKC$. Угол $∠BCK$ — это тот же угол, что и $∠BCD$.

$∠AKC = ∠BKC = ∠ABC - ∠BCK$

Подставим найденные значения углов:

$∠AKC = 42° - 14° = 28°$

Альтернативное решение:

Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами. В данном случае, это дуги AC и BD.

$∠AKC = \frac{1}{2} (\cup AC - \cup BD)$

Подставляем данные из условия задачи:

$∠AKC = \frac{1}{2} (84° - 28°) = \frac{1}{2} (56°) = 28°$

Ответ: 28°