Номер 96, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке K (рис. 14). Найдите угол AKC, если $\cup AC = 84^{\circ}$, $\cup BD = 28^{\circ}$.

Рис. 14

96. Хорды $AB$ и $CD$ окружности не пересекаются, а прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ (рис. 14). Найдите угол $AKC$, если $\cup AC = 84^\circ$, $\cup BD = 28^\circ$.

Рис. 14

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных углов и свойством внешнего угла треугольника. Выполним дополнительное построение: соединим точки A и D хордой AD.

1. Рассмотрим треугольник AKD. Угол $∠ADC$ является внешним углом для этого треугольника при вершине D? Нет, это не так. Рассмотрим другой подход.

Проведем хорду BC. Рассмотрим треугольник KBC.

Угол $∠ABC$ — это вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AC. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, мы можем найти величину угла $∠ABC$:

$∠ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 84° = 42°$

Угол $∠BCD$ — это вписанный угол, который опирается на дугу BD. Его величина также равна половине градусной меры этой дуги:

$∠BCD = \frac{1}{2} \cup BD = \frac{1}{2} \cdot 28° = 14°$

Теперь рассмотрим треугольник KBC. Угол $∠ABC$ является внешним углом этого треугольника при вершине B, так как он смежен с внутренним углом $∠KBC$ (точки K, B, A лежат на одной прямой). По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$∠ABC = ∠BKC + ∠BCK$

Из этой формулы мы можем выразить искомый угол $∠BKC$, который является тем же углом, что и $∠AKC$. Угол $∠BCK$ — это тот же угол, что и $∠BCD$.

$∠AKC = ∠BKC = ∠ABC - ∠BCK$

Подставим найденные значения углов:

$∠AKC = 42° - 14° = 28°$

Альтернативное решение:

Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами. В данном случае, это дуги AC и BD.

$∠AKC = \frac{1}{2} (\cup AC - \cup BD)$

Подставляем данные из условия задачи:

$∠AKC = \frac{1}{2} (84° - 28°) = \frac{1}{2} (56°) = 28°$

Ответ: 28°