Номер 99, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $78^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $78^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $B$, где $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = 78^\circ$. На боковой стороне $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть $O$ — середина $AB$ и центр этой полуокружности. Эта полуокружность пересекает две другие стороны треугольника: основание $AC$ в точке $D$ и боковую сторону $BC$ в точке $E$. В результате полуокружность разделена на три дуги: $\overset{\frown}{AD}$, $\overset{\frown}{DE}$ и $\overset{\frown}{EB}$. Нам нужно найти их градусные меры.

1. Найдём углы при основании треугольника
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 78^\circ}{2} = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ$.

2. Найдём градусную меру дуги $\overset{\frown}{AD}$
Рассмотрим точку $D$ — точку пересечения полуокружности и основания $AC$. Соединим центр полуокружности $O$ с точкой $D$. Получим треугольник $AOD$. В этом треугольнике $OA$ и $OD$ являются радиусами полуокружности, следовательно, $OA = OD$. Значит, $\triangle AOD$ — равнобедренный. Угол $\angle OAD$ является углом $\angle A$ исходного треугольника, поэтому $\angle OAD = 51^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AOD$ углы при основании равны, то есть $\angle ODA = \angle OAD = 51^\circ$. Сумма углов в $\triangle AOD$ равна $180^\circ$, поэтому центральный угол $\angle AOD$, опирающийся на дугу $\overset{\frown}{AD}$, равен: $\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается. Таким образом, градусная мера дуги $\overset{\frown}{AD}$ равна $78^\circ$.

3. Найдём градусную меру дуги $\overset{\frown}{EB}$
Рассмотрим точку $E$ — точку пересечения полуокружности и стороны $BC$. Угол $\angle AEB$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, он равен $90^\circ$. Таким образом, $\triangle AEB$ — прямоугольный. В прямоугольном треугольнике $AEB$ нам известны два угла: $\angle AEB = 90^\circ$ и $\angle B = 78^\circ$. Найдём третий угол $\angle BAE$: $\angle BAE = 180^\circ - 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$. Угол $\angle BAE$ является вписанным углом, который опирается на дугу $\overset{\frown}{EB}$. Градусная мера дуги в два раза больше градусной меры вписанного угла, который на неё опирается. Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{EB} = 2 \cdot \angle BAE = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$.

4. Найдём градусную меру дуги $\overset{\frown}{DE}$
Три дуги $\overset{\frown}{AD}$, $\overset{\frown}{DE}$ и $\overset{\frown}{EB}$ вместе составляют полуокружность, градусная мера которой равна $180^\circ$. Следовательно, $\text{мера}(\overset{\frown}{AD}) + \text{мера}(\overset{\frown}{DE}) + \text{мера}(\overset{\frown}{EB}) = 180^\circ$. Подставим найденные значения: $78^\circ + \text{мера}(\overset{\frown}{DE}) + 24^\circ = 180^\circ$. $102^\circ + \text{мера}(\overset{\frown}{DE}) = 180^\circ$. $\text{мера}(\overset{\frown}{DE}) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Итак, градусные меры образовавшихся дуг равны $78^\circ$, $78^\circ$ и $24^\circ$.

Ответ: $24^\circ, 78^\circ, 78^\circ$.