Номер 105, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Две окружности пересекаются в точках $M$ и $N$. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $N$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 17). Найдите угол $BAC$, если $\angle ABD = 108^\circ$.

105. Две окружности пересекаются в точках $M$ и $N$. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $N$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 17). Найдите угол $BAC$, если $\angle ABD = 108^\circ$.

Рис. 17

Рассмотрим четырехугольник $BMND$, вершины которого лежат на правой окружности. Следовательно, этот четырехугольник является вписанным. По условию задачи, точки $C$, $N$ и $D$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle MNC$ является внешним для вписанного четырехугольника $BMND$ при вершине $N$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, его внешний угол равен внутреннему противоположному углу. В данном случае, внутренним углом, противоположным внешнему углу при вершине $N$, является угол при вершине $B$. Таким образом, мы имеем равенство:

$\angle MNC = \angle MBD$.

Из условия задачи известно, что $\angle ABD = 108^\circ$. Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, то $\angle MBD = \angle ABD = 108^\circ$. Отсюда следует, что $\angle MNC = 108^\circ$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AMNC$, который вписан в левую окружность. Сумма противоположных углов во вписанном четырехугольнике равна $180^\circ$. Для четырехугольника $AMNC$ углы $\angle MAC$ и $\angle MNC$ являются противоположными, значит:

$\angle MAC + \angle MNC = 180^\circ$.

Искомый угол $\angle BAC$ совпадает с углом $\angle MAC$, так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой. Выразим искомый угол из полученного равенства:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle MNC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$.