Страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 68^\circ$, $\angle ADC = 112^\circ$, $\angle BAC = 23^\circ$, $\angle DAC = 52^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AD$.

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 68^\circ$, $\angle ADC = 112^\circ$, $\angle BAC = 23^\circ$, $\angle DAC = 52^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AD$.

По условию задачи в четырехугольнике $ABCD$ известны углы: $\angle ABC = 68^\circ$, $\angle ADC = 112^\circ$, $\angle BAC = 23^\circ$, $\angle DAC = 52^\circ$.

Проверим, является ли четырехугольник $ABCD$ вписанным в окружность. Для этого найдем сумму его противоположных углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.

$\angle ABC + \angle ADC = 68^\circ + 112^\circ = 180^\circ$

Так как сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Это означает, что $ABCD$ — вписанный четырехугольник.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Требуется найти угол между диагоналями, противолежащий стороне $AD$. Этим углом является $\angle AOD$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^\circ$

Из условия задачи нам известны:

1. $\angle OAD$ совпадает с углом $\angle DAC$, то есть $\angle OAD = 52^\circ$.

2. $\angle ODA$ совпадает с углом $\angle BDA$.

Для нахождения $\angle AOD$ нам необходимо определить величину угла $\angle ODA$ ($\angle BDA$).

Во вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ (или $\angle CDB$) опираются на дугу $BC$.

Следовательно, $\angle CDB = \angle BAC = 23^\circ$.

Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle BDA$ и $\angle CDB$.

$\angle ADC = \angle BDA + \angle CDB$

Подставим известные значения в это равенство:

$112^\circ = \angle BDA + 23^\circ$

Выразим отсюда $\angle BDA$:

$\angle BDA = 112^\circ - 23^\circ = 89^\circ$

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $AOD$: $\angle OAD = 52^\circ$ и $\angle ODA = 89^\circ$. Можем найти третий угол $\angle AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA)$

$\angle AOD = 180^\circ - (52^\circ + 89^\circ)$

$\angle AOD = 180^\circ - 141^\circ$

$\angle AOD = 39^\circ$

Ответ: $39^\circ$.

105. Две окружности пересекаются в точках $M$ и $N$. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $N$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 17). Найдите угол $BAC$, если $\angle ABD = 108^\circ$.

105. Две окружности пересекаются в точках $M$ и $N$. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает окружности в точках $A$ и $B$, а прямая, проходящая через точку $N$, — в точках $C$ и $D$ (рис. 17). Найдите угол $BAC$, если $\angle ABD = 108^\circ$.

Рис. 17

Рассмотрим четырехугольник $BMND$, вершины которого лежат на правой окружности. Следовательно, этот четырехугольник является вписанным. По условию задачи, точки $C$, $N$ и $D$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle MNC$ является внешним для вписанного четырехугольника $BMND$ при вершине $N$.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, его внешний угол равен внутреннему противоположному углу. В данном случае, внутренним углом, противоположным внешнему углу при вершине $N$, является угол при вершине $B$. Таким образом, мы имеем равенство:

$\angle MNC = \angle MBD$.

Из условия задачи известно, что $\angle ABD = 108^\circ$. Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, то $\angle MBD = \angle ABD = 108^\circ$. Отсюда следует, что $\angle MNC = 108^\circ$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AMNC$, который вписан в левую окружность. Сумма противоположных углов во вписанном четырехугольнике равна $180^\circ$. Для четырехугольника $AMNC$ углы $\angle MAC$ и $\angle MNC$ являются противоположными, значит:

$\angle MAC + \angle MNC = 180^\circ$.

Искомый угол $\angle BAC$ совпадает с углом $\angle MAC$, так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой. Выразим искомый угол из полученного равенства:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle MNC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $32^{\circ}$. Найдите углы трапеции.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, центр окружности $O$ лежит на большем основании $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром окружности.

Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, $CD$), равен $32^\circ$. Таким образом, $\angle CPD = 32^\circ$.

Воспользуемся свойством углов между пересекающимися хордами в окружности. Величина угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В нашем случае, угол $\angle CPD$ измеряется полусуммой дуг $CD$ и $AB$:

$\angle CPD = \frac{1}{2}(\text{дуга } CD + \text{дуга } AB)$

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, то её боковые стороны равны ($AB = CD$), а значит, равны и дуги, которые они стягивают: $\text{дуга } AB = \text{дуга } CD$.

Подставим это равенство в формулу:

$32^\circ = \frac{1}{2}(\text{дуга } CD + \text{дуга } CD) = \text{дуга } CD$

Таким образом, градусная мера дуги $CD$ равна $32^\circ$. Соответственно, градусная мера дуги $AB$ также равна $32^\circ$.

Поскольку $AD$ — диаметр, дуга, на которую он опирается (полуокружность), равна $180^\circ$. Вершины $B$ и $C$ лежат на одной из полуокружностей, образованных диаметром $AD$. Следовательно, сумма дуг $AB$, $BC$ и $CD$ равна $180^\circ$.

$\text{дуга } AB + \text{дуга } BC + \text{дуга } CD = 180^\circ$

$32^\circ + \text{дуга } BC + 32^\circ = 180^\circ$

$\text{дуга } BC = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

Теперь мы можем найти углы трапеции. Углы трапеции являются вписанными углами в окружность, и их величина равна половине дуги, на которую они опираются.

Угол $\angle A$ ($\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$.

$\text{дуга } BCD = \text{дуга } BC + \text{дуга } CD = 116^\circ + 32^\circ = 148^\circ$

$\angle DAB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BCD = \frac{1}{2} \cdot 148^\circ = 74^\circ$

Так как трапеция равнобокая, углы при одном основании равны, поэтому угол $\angle D$ ($\angle CDA$) также равен $74^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

$\angle B = \angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$

Углы при меньшем основании также равны, поэтому $\angle C = \angle BCD = 106^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $74^\circ$, $106^\circ$, $106^\circ$, $74^\circ$.

Ответ: $74^\circ, 106^\circ, 74^\circ, 106^\circ$.

107. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите сторону $CD$, если $AB = 5$ см, $BC = 9$ см, $AD = 6$ см.

107. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Найдите сторону $CD$, если $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$, $AD = 6 \text{ см}$.

Поскольку в четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность, он является описанным четырёхугольником.

Основное свойство описанного четырёхугольника (теорема Пито) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны.

Для четырёхугольника $ABCD$ это свойство записывается в виде следующего равенства: $AB + CD = BC + AD$

Из условия задачи нам известны длины трёх сторон: $AB = 5$ см, $BC = 9$ см, $AD = 6$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину стороны $CD$.

$5 + CD = 9 + 6$

$5 + CD = 15$

Теперь выразим $CD$:

$CD = 15 - 5$

$CD = 10$ см

Ответ: 10 см.

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $ABCD$, если:

1) $AB = 4 \text{ см}, BC = 11 \text{ см}, CD = 12 \text{ см}, AD = 5 \text{ см};$

2) $AB = 9 \text{ см}, BC = 7 \text{ см}, CD = 14 \text{ см}, AD = 15 \text{ см}?$

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник

$ABCD$, если:

1) $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 11 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$, $AD = 5 \text{ см}$;

2) $AB = 9 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $CD = 14 \text{ см}$, $AD = 15 \text{ см}$?

Окружность можно вписать в выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это свойство известно как теорема Пито. Для четырёхугольника ABCD это условие можно записать в виде формулы: $AB + CD = BC + AD$.

Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

1) Даны стороны четырёхугольника: $AB = 4$ см, $BC = 11$ см, $CD = 12$ см, $AD = 5$ см.
Найдём сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:
$AB + CD = 4 + 12 = 16$ см.
Теперь найдём сумму длин другой пары противолежащих сторон $BC$ и $AD$:
$BC + AD = 11 + 5 = 16$ см.
Поскольку суммы противолежащих сторон равны ($16 = 16$), условие выполняется.
Ответ: да, можно.

2) Даны стороны четырёхугольника: $AB = 9$ см, $BC = 7$ см, $CD = 14$ см, $AD = 15$ см.
Найдём сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:
$AB + CD = 9 + 14 = 23$ см.
Теперь найдём сумму длин другой пары противолежащих сторон $BC$ и $AD$:
$BC + AD = 7 + 15 = 22$ см.
Поскольку суммы противолежащих сторон не равны ($23 \neq 22$), условие не выполняется.
Ответ: нет, нельзя.

109. Основания трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 7 см и 9 см. Найдите периметр трапеции.

109. Основания трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 7 см и 9 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, в эту трапецию можно вписать окружность.

Длины оснований известны:
$BC = 7$ см
$AD = 9$ см

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:
$P = AB + BC + CD + AD$

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность (описанного четырехугольника), заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Запишем это свойство в виде формулы:
$BC + AD = AB + CD$

Найдем сумму длин оснований:
$BC + AD = 7 + 9 = 16$ см

Следовательно, сумма длин боковых сторон также равна 16 см:
$AB + CD = 16$ см

Теперь вычислим периметр трапеции, который равен сумме длин оснований и сумме длин боковых сторон:
$P = (BC + AD) + (AB + CD)$
$P = 16 + 16 = 32$ см

Ответ: 32 см.

110. Средняя линия трапеции равна 14 см, а периметр – 56 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

110. Средняя линия трапеции равна 14 см, а периметр – 56 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Согласно свойству описанного четырехугольника, в выпуклый четырехугольник (в частности, в трапецию) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$ и $d$. Нам необходимо доказать, что выполняется равенство: $a + b = c + d$.

1. Найдем сумму оснований трапеции. Длина средней линии трапеции $m$ равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

По условию задачи $m = 14$ см. Подставим это значение в формулу:

$14 = \frac{a+b}{2}$

Отсюда найдем сумму оснований:

$a + b = 14 \cdot 2 = 28$ см.

2. Найдем сумму боковых сторон трапеции. Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон:

$P = a + b + c + d$

По условию задачи $P = 56$ см. Мы уже нашли, что сумма оснований $a+b = 28$ см. Подставим известные значения в формулу периметра:

$56 = 28 + (c + d)$

Отсюда найдем сумму боковых сторон:

$c + d = 56 - 28 = 28$ см.

3. Сравним суммы противоположных сторон.

Сумма оснований: $a+b = 28$ см.

Сумма боковых сторон: $c+d = 28$ см.

Так как $a+b = c+d$, то условие для вписанной в четырехугольник окружности выполняется. Следовательно, в данную трапецию можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В трапецию можно вписать окружность, так как сумма ее оснований (28 см) равна сумме ее боковых сторон (28 см).

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 8 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 60 см.

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 8 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 60 см.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны.

По свойству описанного четырёхугольника (четырёхугольника, в который можно вписать окружность), суммы его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:

$a + b = c + c = 2c$

Периметр трапеции $P$ равен сумме всех её сторон:

$P = a + b + c + c = (a+b) + 2c$

Используя свойство описанного четырёхугольника, мы можем записать периметр как:

$P = 2c + 2c = 4c$

По условию, периметр равен 60 см. Найдем длину боковой стороны:

$4c = 60$

$c = \frac{60}{4} = 15$ см

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 15 см.

По условию, точка касания делит боковую сторону на два отрезка, один из которых равен 8 см. Пусть это будут отрезки $x$ и $y$. Тогда:

$x = 8$ см

$y = c - x = 15 - 8 = 7$ см

Итак, боковая сторона делится на отрезки длиной 8 см и 7 см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины, отрезки боковой стороны от точки касания до вершин равны отрезкам оснований от этих же вершин до точек касания. В равнобокой трапеции основания равны удвоенным прилежащим к ним отрезкам боковой стороны. Большему основанию соответствует больший отрезок, а меньшему — меньший.

Следовательно, длины оснований трапеции равны:

$a = 2 \cdot 8 = 16$ см

$b = 2 \cdot 7 = 14$ см

Проверим: сумма оснований $16 + 14 = 30$ см. Сумма боковых сторон $15 + 15 = 30$ см. Равенство выполняется. Периметр $30 + 30 = 60$ см. Условие выполняется.

Ответ: основания трапеции равны 14 см и 16 см.

112. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

112. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции $h$. Пусть это будет сторона $c$. Тогда $c = h$. Вторая боковая сторона $d$ является наклонной и будет большей боковой стороной. По условию, ее длина $d = 20$ см.

Если в трапецию вписана окружность, то ее высота равна диаметру этой окружности. Радиус вписанной окружности $r = 6$ см.

Найдем высоту трапеции $h$:
$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, меньшая боковая сторона $c$ равна высоте $h$, то есть $c = 12$ см.

Ключевое свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + d$

Подставим известные значения длин боковых сторон: $a + b = 12 + 20 = 32$ см.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a + b}{2}$

Теперь мы можем вычислить среднюю линию: $m = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.