Страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10$ см, $\angle A = 20^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к стороне $AB$.

39. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10 \text{ см}$, $\angle A = 20^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к стороне $AB$.

Для того чтобы найти медиану треугольника, проведённую к стороне AB, сначала определим тип треугольника. Для этого вычислим величину третьего угла, угла C. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
Подставим известные значения углов A и B:
$\angle C = 180^\circ - (20^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Поскольку угол C равен $90^\circ$, треугольник ABC является прямоугольным. Сторона AB, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой этого треугольника.
Теперь рассмотрим медиану, проведённую к стороне AB. Обозначим её как CM, где M — середина стороны AB.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом:
$CM = \frac{1}{2}AB$.
По условию задачи, длина стороны AB равна 10 см. Вычислим длину медианы CM:
$CM = \frac{1}{2} \cdot 10$ см $= 5$ см.

Ответ: 5 см.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $AB$ и $BC$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 8 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $B$.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $AB$ и $BC$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 8 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $B$.

Пусть O — центр окружности, M — середина хорды AB, а N — середина хорды BC. Требуется найти расстояние от центра O до точки B, то есть длину отрезка OB.

По условию, хорды AB и BC перпендикулярны, следовательно, угол между ними $\angle ABC = 90^\circ$. Также известно, что длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, $MN = 8$ см.

Рассмотрим четырехугольник OMBN. Согласно свойству окружности, отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Так как M — середина хорды AB, то $OM \perp AB$, и следовательно, $\angle OMB = 90^\circ$. Аналогично, так как N — середина хорды BC, то $ON \perp BC$, и следовательно, $\angle ONB = 90^\circ$.

Таким образом, мы знаем три угла четырехугольника OMBN: $\angle MBN = 90^\circ$ (по условию), $\angle OMB = 90^\circ$ и $\angle BNO = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, поэтому четвертый угол $\angle MON$ также должен быть прямым: $\angle MON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку все углы четырехугольника OMBN прямые, он является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями в данном прямоугольнике являются отрезки OB и MN. Следовательно, их длины равны: $OB = MN$.

Так как по условию $MN = 8$ см, то искомое расстояние $OB$ также равно 8 см.

Ответ: 8 см.

41. На рисунке 9 четырёхугольник ABCD — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 9

а

В ромбе ABCD: угол $\angle ABD = \alpha$, угол $\angle CDB = 52^{\circ}$.

б

В ромбе ABCD: угол $\angle BAC = \alpha$, угол $\angle ADC = 74^{\circ}$.

в

В ромбе ABCD: угол $\angle DBC = \alpha$, угол $\angle CAD = 25^{\circ}$.

41. На рисунке 9 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 9

а

б

в

а

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является ромбом, все его стороны равны. В частности, сторона $BC$ равна стороне $CD$.

Следовательно, треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle CBD = \angle BDC$.

Из условия на рисунке нам дан угол $\angle BDC = 52^{\circ}$.

Таким образом, искомый угол $\alpha = \angle CBD = 52^{\circ}$.

Ответ: $\alpha = 52^{\circ}$.

б

В ромбе $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$.

Рассмотрим углы, прилежащие к стороне $CD$: $\angle ADC$ и $\angle BCD$. Их сумма $\angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ}$.

По условию, $\angle ADC = 74^{\circ}$. Отсюда мы можем найти угол $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$.

Одним из свойств ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $AC$ делит угол $\angle BCD$ пополам.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен половине угла $\angle BCD$:

$\alpha = \angle BCA = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ}$.

Ответ: $\alpha = 53^{\circ}$.

в

В ромбе $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$.

Ключевое свойство ромба заключается в том, что его диагонали пересекаются под прямым углом (взаимно перпендикулярны).

Искомый угол $\alpha = \angle BOC$ является одним из углов, образованных в точке пересечения диагоналей.

Следовательно, $\alpha = \angle BOC = 90^{\circ}$.

Заметим, что данный в условии угол $\angle CAD = 25^{\circ}$ является избыточной информацией для нахождения угла $\alpha$.

Ответ: $\alpha = 90^{\circ}$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $20^{\circ}$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $20^\circ$.

Пусть углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, равны $\alpha$ и $\beta$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому они вместе со стороной ромба образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

По условию задачи, разность этих углов равна $20^\circ$. Предположим, что $\alpha > \beta$. Это дает нам второе уравнение:

$\alpha - \beta = 20^\circ$

Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 90^\circ \\ \alpha - \beta = 20^\circ \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $\alpha$:
$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 90^\circ + 20^\circ$
$2\alpha = 110^\circ$
$\alpha = 55^\circ$

Теперь найдем $\beta$, подставив значение $\alpha$ в первое уравнение:
$55^\circ + \beta = 90^\circ$
$\beta = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, углы ромба равны $2\alpha$ и $2\beta$.

Один из углов ромба (тупой) равен:
$2\alpha = 2 \times 55^\circ = 110^\circ$

Другой угол ромба (острый) равен:
$2\beta = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

В ромбе противоположные углы равны. Таким образом, углы ромба — это два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

Ответ: 70°, 110°, 70°, 110°.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $4 : 5$.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как 4 : 5.

Решение:

Пусть ABCD — ромб, AC и BD — его диагонали, которые пересекаются в точке O. Рассмотрим сторону AB. Углы, которые сторона AB образует с диагоналями AC и BD, — это углы $\angle BAC$ и $\angle ABD$.

По условию задачи, отношение этих углов равно $4:5$. Пусть $\angle BAC = 4x$ и $\angle ABD = 5x$.

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол $\angle AOB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $\triangle AOB$ это означает: $\angle BAC + \angle ABD = 90^\circ$

Подставим в это уравнение наши выражения для углов: $4x + 5x = 90^\circ$

Решим полученное уравнение: $9x = 90^\circ$ $x = 10^\circ$

Теперь мы можем найти величину каждого из этих углов: $\angle BAC = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$ $\angle ABD = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Другое важное свойство ромба — его диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, полные углы ромба будут в два раза больше найденных нами углов.

Угол A ромба: $\angle A = \angle DAB = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Угол B ромба: $\angle B = \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 80^\circ$ и $\angle D = \angle B = 100^\circ$. Сумма смежных углов $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: углы ромба равны 80°, 100°, 80°, 100°.

44. Угол между высотами $BM$ и $BN$, проведёнными из вершины $B$ ромба $ABCD$, равен $48^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

44. Угол между высотами $BM$ и $BN$, проведёнными из вершины $B$ ромба $ABCD$, равен $48^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Пусть дан ромб $ABCD$. Из вершины $B$ проведены высоты $BM$ к стороне $AD$ и $BN$ к стороне $CD$. По определению высоты, $BM \perp AD$ и $BN \perp CD$, следовательно, $\angle BMD = 90^{\circ}$ и $\angle BND = 90^{\circ}$. По условию, угол между высотами $\angle MBN = 48^{\circ}$.

Рассмотрим четырехугольник $MBND$. Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^{\circ}$. В данном четырехугольнике нам известны три угла, что позволяет найти четвертый угол $\angle D$, который также является одним из углов ромба.

$\angle D + \angle MBN + \angle BMD + \angle BND = 360^{\circ}$

$\angle D + 48^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle D + 228^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle D = 360^{\circ} - 228^{\circ} = 132^{\circ}$

Итак, один из углов ромба равен $132^{\circ}$. В ромбе соседние углы в сумме составляют $180^{\circ}$. Найдем другой угол ромба, например, угол $A$.

$\angle A = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$

Таким образом, углы ромба равны $48^{\circ}$ и $132^{\circ}$.

Теперь найдем углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями. Важным свойством ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Это означает, что они делят углы ромба пополам.

Рассмотрим любую сторону ромба, например, $AB$.

Угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ равен половине угла $A$:

$\angle BAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{48^{\circ}}{2} = 24^{\circ}$

Угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ равен половине угла $B$. Так как противолежащие углы в ромбе равны, $\angle B = \angle D = 132^{\circ}$.

$\angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{132^{\circ}}{2} = 66^{\circ}$

Из-за симметрии ромба, любая его сторона будет образовывать с диагоналями углы $24^{\circ}$ и $66^{\circ}$.

Ответ: $24^{\circ}$ и $66^{\circ}$.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен $42^\circ$. Найдите углы ромба.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен $42^\circ$. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$. Пусть $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Из вершины тупого угла $B$ проведем высоту $BH$ к стороне $AD$ и диагональ $BD$. По условию задачи, угол между высотой и диагональю $\angle HBD = 42^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BHD$. Так как $BH$ является высотой ромба, опущенной на сторону $AD$, то $\angle BHD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $BHD$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для $\triangle BHD$ имеем:
$\angle HBD + \angle BDH = 90^\circ$

Мы знаем, что $\angle HBD = 42^\circ$, поэтому можем найти угол $\angle BDH$:
$\angle BDH = 90^\circ - \angle HBD = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $BD$ делит угол $\angle D$ ($\angle ADC$) пополам. Угол $\angle BDH$ — это половина угла $\angle ADC$. Таким образом, мы можем найти полный угол $\angle ADC$:
$\angle ADC = 2 \cdot \angle BDH = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle A$ ($\angle DAB$), который прилежит к той же стороне $AD$, что и угол $\angle D$:
$\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$

Противоположные углы в ромбе равны, поэтому углы ромба составляют две пары равных углов: $84^\circ$ и $96^\circ$.

Ответ: $84^\circ, 96^\circ, 84^\circ, 96^\circ$.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 16 см.

46. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 16 см.

Пусть дан ромб $ABCD$. Обозначим его сторону как $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Пусть $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы ромба, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Проведём высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на сторону $AD$.

По условию задачи, высота $BH$ делит сторону $AD$ пополам. Это означает, что основание высоты, точка $H$, является серединой стороны $AD$. Следовательно, длина отрезка $AH$ составляет половину длины стороны ромба: $AH = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH$ — высота). В этом треугольнике гипотенуза $AB$ равна стороне ромба $a$, а катет $AH$, прилежащий к углу $\angle A$, равен $\frac{a}{2}$.

Найдем косинус угла $\angle A$ через отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим градусную меру острого угла ромба: $\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, образованный двумя сторонами ромба и диагональю $BD$. Поскольку $AB = AD = a$, этот треугольник является равнобедренным. Угол между равными сторонами, $\angle A$, равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине является равносторонним.

Следовательно, все стороны треугольника $\triangle ABD$ равны, а значит, диагональ $BD$ равна стороне ромба: $BD = AB = AD = a$.

В ромбе диагональ, лежащая напротив острого угла, является меньшей. Диагональ $BD$ лежит напротив угла $\angle A = 60^\circ$, а диагональ $AC$ — напротив тупого угла $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Таким образом, $BD$ — это меньшая диагональ ромба.

Согласно условию, меньшая диагональ ромба равна 16 см, то есть $BD = 16$ см.

Так как мы установили, что $BD = a$, то и сторона ромба $a$ равна 16 см.

Ответ: 16 см.

47. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Серединный перпендикуляр отрезка $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Найдите периметр четырёхугольника $BCMN$, если $BN = 8$ см.

47. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Серединный перпендикуляр отрезка $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Найдите периметр четырёхугольника $BCMN$, если $BN = 8$ см.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.

1. Анализ свойств, связанных с биссектрисой угла B.
$BM$ является биссектрисой угла $B$, следовательно, $\angle CBM = \angle ABM$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.
Прямая $BM$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle ABM = \angle BMC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle CBM = \angle BMC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle BCM$. Так как два его угла равны ($\angle CBM = \angle BMC$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = CM$.

2. Анализ свойств, связанных с серединным перпендикуляром.
Точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BM$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка.
Следовательно, расстояние от точки $N$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $N$ до точки $M$: $BN = MN$.
По условию задачи, $BN = 8$ см, значит, $MN = 8$ см.

3. Установление связи между сторонами $BC$ и $BN$.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle BNM$ ($BN=MN$). Углы при его основании $BM$ равны: $\angle NBM = \angle BMN$.
Точка $N$ лежит на стороне $AB$, поэтому угол $\angle NBM$ совпадает с углом $\angle ABM$. Таким образом, $\angle ABM = \angle BMN$.
В пункте 1 мы установили, что $\angle ABM = \angle CBM = \angle BMC$.
Из этого следует, что $\angle BMN = \angle BMC$.
Рассмотрим два треугольника: $\triangle BCM$ и $\triangle BNM$.
В $\triangle BCM$: он равнобедренный с основанием $BM$. Углы при основании $\angle CBM = \angle BMC$. По теореме синусов: $ \frac{BM}{\sin(\angle BCM)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} $ $ BM = BC \cdot \frac{\sin(180^\circ - 2\angle BMC)}{\sin(\angle BMC)} = BC \cdot \frac{\sin(2\angle BMC)}{\sin(\angle BMC)} = BC \cdot \frac{2\sin(\angle BMC)\cos(\angle BMC)}{\sin(\angle BMC)} = 2 \cdot BC \cdot \cos(\angle BMC) $
В $\triangle BNM$: он равнобедренный с основанием $BM$. Углы при основании $\angle NBM = \angle BMN$. По теореме синусов: $ \frac{BM}{\sin(\angle BNM)} = \frac{BN}{\sin(\angle BMN)} $ $ BM = BN \cdot \frac{\sin(180^\circ - 2\angle BMN)}{\sin(\angle BMN)} = BN \cdot \frac{\sin(2\angle BMN)}{\sin(\angle BMN)} = BN \cdot \frac{2\sin(\angle BMN)\cos(\angle BMN)}{\sin(\angle BMN)} = 2 \cdot BN \cdot \cos(\angle BMN) $
Так как $\angle BMC = \angle BMN$, то и $\cos(\angle BMC) = \cos(\angle BMN)$.
Приравнивая два выражения для длины общей стороны $BM$, получаем: $ 2 \cdot BC \cdot \cos(\angle BMC) = 2 \cdot BN \cdot \cos(\angle BMN) $ $ BC = BN $

4. Расчет периметра четырехугольника BCMN.
Периметр четырехугольника $BCMN$ равен сумме длин его сторон: $ P_{BCMN} = BC + CM + MN + BN $
Из предыдущих пунктов нам известно:

• $BN = 8$ см (по условию).
• $MN = BN = 8$ см.
• $BC = BN = 8$ см.
• $CM = BC = 8$ см.

Таким образом, все стороны четырехугольника $BCMN$ равны 8 см.
$ P_{BCMN} = 8 + 8 + 8 + 8 = 32 $ см.

Ответ: 32 см.