Номер 42, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $20^{\circ}$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $20^\circ$.

Пусть углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, равны $\alpha$ и $\beta$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому они вместе со стороной ромба образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

По условию задачи, разность этих углов равна $20^\circ$. Предположим, что $\alpha > \beta$. Это дает нам второе уравнение:

$\alpha - \beta = 20^\circ$

Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 90^\circ \\ \alpha - \beta = 20^\circ \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $\alpha$:
$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 90^\circ + 20^\circ$
$2\alpha = 110^\circ$
$\alpha = 55^\circ$

Теперь найдем $\beta$, подставив значение $\alpha$ в первое уравнение:
$55^\circ + \beta = 90^\circ$
$\beta = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, углы ромба равны $2\alpha$ и $2\beta$.

Один из углов ромба (тупой) равен:
$2\alpha = 2 \times 55^\circ = 110^\circ$

Другой угол ромба (острый) равен:
$2\beta = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

В ромбе противоположные углы равны. Таким образом, углы ромба — это два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

Ответ: 70°, 110°, 70°, 110°.