Номер 36, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 5 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 44 см.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 5 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 44 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая сторона.

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии прямоугольника. Расстояние от этой точки до большей стороны ($a$) равно половине длины меньшей стороны, то есть $\frac{b}{2}$. Расстояние до меньшей стороны ($b$) равно половине длины большей стороны, то есть $\frac{a}{2}$.

Согласно условию, расстояние до большей стороны на 5 см меньше, чем расстояние до меньшей. На основе этого составим первое уравнение:

$\frac{b}{2} = \frac{a}{2} - 5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$b = a - 10$, что эквивалентно $a - b = 10$.

Периметр прямоугольника $P$ равен 44 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:

$2(a + b) = 44$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a + b = 22$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a - b = 10 \\ a + b = 22 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $a$:

$(a - b) + (a + b) = 10 + 22$

$2a = 32$

$a = \frac{32}{2} = 16$

Мы нашли длину большей стороны: $a = 16$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в уравнение $a + b = 22$, чтобы найти $b$:

$16 + b = 22$

$b = 22 - 16$

$b = 6$

Длина меньшей стороны: $b = 6$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 6 см.

Ответ: 16 см и 6 см.