Номер 34, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 8). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите отрезок $BC$, если $AC = 18$ см, $\angle ABD = 30^{\circ}$.

Рис. 8

(изображение круга с центром O, диаметрами AC и BD, и точками A, B, C, D на окружности)

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 8). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите отрезок $BC$, если $AC = 18 \text{ см}$, $\angle ABD = 30^\circ$.

Рис. 8

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию, $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$.

1. Так как $AC$ и $BD$ являются диаметрами, они пересекаются в центре окружности $O$ и делятся этой точкой пополам. То есть $AO = OC = BO = OD = R$, где $R$ — радиус окружности.

2. Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

3. Диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами одной и той же окружности, поэтому их длины равны: $AC = BD = 2R$.

4. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Найдите отрезок BC, если AC = 18 см, ∠ABD = 30°.

1. Из доказанного выше мы знаем, что $ABCD$ — прямоугольник. Это означает, что все его углы прямые, в частности $\angle ABC = 90^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB$. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OAB = \angle OBA$. Так как по условию $\angle ABD = 30^\circ$, то и $\angle OBA = 30^\circ$, а следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle ABC = 90^\circ$. Угол $\angle CAB$ этого треугольника совпадает с углом $\angle OAB$ и равен $30^\circ$.

5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла $\angle CAB = 30^\circ$, а гипотенузой является диагональ $AC$.

6. По условию $AC = 18$ см. Следовательно, $BC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.