Номер 33, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABD$, если он на $30^\circ$ больше угла $COD$.

33. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол ABD, если он на $30^\circ$ больше угла COD.

Пусть $ABCD$ — заданный прямоугольник. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA$. Заметим, что угол $\angle OBA$ это и есть искомый угол $\angle ABD$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$:$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

Заменим в этом равенстве $\angle OAB$ на равный ему угол $\angle OBA$, а угол $\angle AOB$ на равный ему угол $\angle COD$:$\angle OBA + \angle OBA + \angle COD = 180^\circ$$2 \cdot \angle OBA + \angle COD = 180^\circ$

Так как $\angle OBA$ это то же самое, что и $\angle ABD$, мы получаем первое уравнение:$2 \cdot \angle ABD + \angle COD = 180^\circ$

По условию задачи, угол $\angle ABD$ на $30^\circ$ больше угла $\angle COD$. Это дает нам второе уравнение:$\angle ABD = \angle COD + 30^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим $\angle COD$ из второго уравнения:$\angle COD = \angle ABD - 30^\circ$

Подставим это выражение в первое уравнение:$2 \cdot \angle ABD + (\angle ABD - 30^\circ) = 180^\circ$$3 \cdot \angle ABD - 30^\circ = 180^\circ$$3 \cdot \angle ABD = 180^\circ + 30^\circ$$3 \cdot \angle ABD = 210^\circ$$\angle ABD = \frac{210^\circ}{3}$$\angle ABD = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$