Номер 40, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $AB$ и $BC$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 8 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $B$.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $AB$ и $BC$. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна 8 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки $B$.

Пусть O — центр окружности, M — середина хорды AB, а N — середина хорды BC. Требуется найти расстояние от центра O до точки B, то есть длину отрезка OB.

По условию, хорды AB и BC перпендикулярны, следовательно, угол между ними $\angle ABC = 90^\circ$. Также известно, что длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, $MN = 8$ см.

Рассмотрим четырехугольник OMBN. Согласно свойству окружности, отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Так как M — середина хорды AB, то $OM \perp AB$, и следовательно, $\angle OMB = 90^\circ$. Аналогично, так как N — середина хорды BC, то $ON \perp BC$, и следовательно, $\angle ONB = 90^\circ$.

Таким образом, мы знаем три угла четырехугольника OMBN: $\angle MBN = 90^\circ$ (по условию), $\angle OMB = 90^\circ$ и $\angle BNO = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, поэтому четвертый угол $\angle MON$ также должен быть прямым: $\angle MON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку все углы четырехугольника OMBN прямые, он является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями в данном прямоугольнике являются отрезки OB и MN. Следовательно, их длины равны: $OB = MN$.

Так как по условию $MN = 8$ см, то искомое расстояние $OB$ также равно 8 см.

Ответ: 8 см.