Номер 46, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 16 см.

46. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 16 см.

Пусть дан ромб $ABCD$. Обозначим его сторону как $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Пусть $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы ромба, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Проведём высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на сторону $AD$.

По условию задачи, высота $BH$ делит сторону $AD$ пополам. Это означает, что основание высоты, точка $H$, является серединой стороны $AD$. Следовательно, длина отрезка $AH$ составляет половину длины стороны ромба: $AH = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH$ — высота). В этом треугольнике гипотенуза $AB$ равна стороне ромба $a$, а катет $AH$, прилежащий к углу $\angle A$, равен $\frac{a}{2}$.

Найдем косинус угла $\angle A$ через отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим градусную меру острого угла ромба: $\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, образованный двумя сторонами ромба и диагональю $BD$. Поскольку $AB = AD = a$, этот треугольник является равнобедренным. Угол между равными сторонами, $\angle A$, равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине является равносторонним.

Следовательно, все стороны треугольника $\triangle ABD$ равны, а значит, диагональ $BD$ равна стороне ромба: $BD = AB = AD = a$.

В ромбе диагональ, лежащая напротив острого угла, является меньшей. Диагональ $BD$ лежит напротив угла $\angle A = 60^\circ$, а диагональ $AC$ — напротив тупого угла $\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Таким образом, $BD$ — это меньшая диагональ ромба.

Согласно условию, меньшая диагональ ромба равна 16 см, то есть $BD = 16$ см.

Так как мы установили, что $BD = a$, то и сторона ромба $a$ равна 16 см.

Ответ: 16 см.