Номер 51, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 18 см. Квадрат построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите сторону квадрата.

51. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 18 см. Квадрат построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите сторону квадрата.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Гипотенуза $AB$ равна 18 см. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В этот треугольник вписан квадрат $KLMN$ таким образом, что его вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $N$ и $M$ — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $KL = LM = MN = NK = x$.

Поскольку сторона квадрата $KL$ лежит на гипотенузе $AB$, то стороны $NK$ и $LM$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $ANK$. В нем $\angle A = 45^\circ$, а $\angle NKA = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle ANK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике $ANK$ равны, он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AK = NK$. Поскольку $NK = x$, то $AK = x$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BLM$. В нем $\angle B = 45^\circ$ и $\angle MLB = 90^\circ$. Значит, треугольник $BLM$ также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $LB = LM$. Так как $LM = x$, то $LB = x$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$. Мы можем записать равенство:$AB = AK + KL + LB$.

Подставим известные значения и выражения через $x$:$18 = x + x + x$$18 = 3x$$x = \frac{18}{3}$$x = 6$

Таким образом, сторона квадрата равна 6 см.

Ответ: 6 см.