Номер 55, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 1 см, 5 см и 7 см?

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 1 см, 5 см и 7 см?

Для того чтобы три отрезка могли быть средними линиями треугольника, они должны удовлетворять условию, которое следует из свойства средних линий и неравенства треугольника.

Способ 1: Через стороны исходного треугольника

Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны. Если средние линии равны 1 см, 5 см и 7 см, то стороны исходного треугольника ($a, b, c$) должны быть в два раза больше:

• $a = 2 \cdot 1 = 2$ см
• $b = 2 \cdot 5 = 10$ см
• $c = 2 \cdot 7 = 14$ см

Теперь проверим, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить это условие для двух меньших сторон и одной большей:

$a + b > c$

$2 \text{ см} + 10 \text{ см} > 14 \text{ см}$

$12 \text{ см} > 14 \text{ см}$

Это неравенство неверно. Следовательно, треугольник со сторонами 2 см, 10 см и 14 см существовать не может.

Способ 2: Через треугольник, образованный средними линиями

Три средние линии треугольника образуют новый, так называемый срединный треугольник. Поэтому сами длины средних линий должны удовлетворять неравенству треугольника.

Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 1 см, 5 см и 7 см:

$1 \text{ см} + 5 \text{ см} > 7 \text{ см}$

$6 \text{ см} > 7 \text{ см}$

Это неравенство также неверно. Значит, треугольник со сторонами 1 см, 5 см и 7 см не существует.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: средние линии треугольника не могут иметь указанные длины.

Ответ: не могут.