Страница 10 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, является квадратом.

48. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, является квадратом.

Пусть ABCD — данный прямоугольник. Пусть его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию задачи, диагонали перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и в точке пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой: $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. В этих треугольниках сторона $BO$ является общей, стороны $AO$ и $CO$ равны ($AO = CO$), а углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ равны $90^\circ$ (так как по условию диагонали перпендикулярны).

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = BC$.

Так как ABCD — это прямоугольник, его противоположные стороны также равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

Объединяя полученные равенства ($AB = BC$, $AB = CD$, $BC = AD$), мы заключаем, что все стороны четырехугольника равны: $AB = BC = CD = AD$.

По определению, прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

49. Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от его сторон на 8 см. Найдите периметр квадрата.

49. Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от его сторон на 8 см. Найдите периметр квадрата.

Точка пересечения диагоналей квадрата является его центром. Расстояние от центра квадрата до любой из его сторон равно половине длины стороны квадрата.

Пусть $a$ — длина стороны квадрата. Тогда расстояние от центра до стороны равно $\frac{a}{2}$.

По условию задачи, это расстояние равно 8 см. Следовательно, мы можем составить уравнение:
$\frac{a}{2} = 8$

Чтобы найти длину стороны $a$, умножим обе части уравнения на 2:
$a = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.
Подставим найденное значение стороны в формулу периметра:
$P = 4 \cdot 16 = 64$ см.

Ответ: 64 см.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 12$ см. Две стороны квадрата $CMKN$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $K$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите сторону квадрата.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 12$ см. Две стороны квадрата $CMKN$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $K$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите сторону квадрата.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты равны: $AC = BC = 12$ см. Это значит, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а угол при вершине $C$ — прямой ($\angle C = 90^\circ$). В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны, и каждый из них составляет $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $CMKN$. Две его стороны ($CM$ и $CN$) лежат на катетах, а вершина $K$ — на гипотенузе. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $CM = CN = MK = KN = x$.

Рассмотрим один из двух меньших треугольников, которые образуются в углах $A$ и $B$. Возьмем треугольник $AMK$. Точка $M$ лежит на катете $AC$, поэтому длина отрезка $AM$ равна $AC - CM = 12 - x$.

Поскольку $CMKN$ — это квадрат, его сторона $MK$ параллельна стороне $CN$, а значит, и всему катету $BC$. Так как прямые $MK$ и $BC$ параллельны, а гипотенуза $AB$ является секущей, то соответственные углы при секущей равны: $\angle AKM = \angle ABC$.

Мы знаем, что $\angle ABC = 45^\circ$, следовательно, $\angle AKM$ также равен $45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMK$. В нем $\angle A = 45^\circ$ и $\angle AKM = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AM = MK$.

Подставим в это равенство известные нам выражения для длин сторон: $AM = 12 - x$ $MK = x$

Получаем уравнение: $12 - x = x$ $12 = 2x$ $x = \frac{12}{2}$ $x = 6$

Таким образом, длина стороны квадрата $CMKN$ составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

51. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 18 см. Квадрат построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите сторону квадрата.

51. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 18 см. Квадрат построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите сторону квадрата.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Гипотенуза $AB$ равна 18 см. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В этот треугольник вписан квадрат $KLMN$ таким образом, что его вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $N$ и $M$ — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $KL = LM = MN = NK = x$.

Поскольку сторона квадрата $KL$ лежит на гипотенузе $AB$, то стороны $NK$ и $LM$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $ANK$. В нем $\angle A = 45^\circ$, а $\angle NKA = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle ANK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике $ANK$ равны, он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AK = NK$. Поскольку $NK = x$, то $AK = x$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BLM$. В нем $\angle B = 45^\circ$ и $\angle MLB = 90^\circ$. Значит, треугольник $BLM$ также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $LB = LM$. Так как $LM = x$, то $LB = x$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$. Мы можем записать равенство:$AB = AK + KL + LB$.

Подставим известные значения и выражения через $x$:$18 = x + x + x$$18 = 3x$$x = \frac{18}{3}$$x = 6$

Таким образом, сторона квадрата равна 6 см.

Ответ: 6 см.

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $A$ отметили точку $F$ такую, что луч $CF$ делит угол $DCB$ в отношении $1 : 2$. Найдите отрезок $CF$, если сторона квадрата равна $4$ см.

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $A$ отметили точку $F$ такую, что луч $CF$ делит угол $DCB$ в отношении $1 : 2$. Найдите отрезок $CF$, если сторона квадрата равна $4$ см.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат. По условию, сторона квадрата равна 4 см, то есть $AB = BC = CD = AD = 4$ см.Точка $F$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $A$, это означает, что точки расположены на прямой в следующем порядке: $F, A, D$.

Угол квадрата $\angle DCB$ равен $90^\circ$. Луч $CF$ делит этот угол в отношении $1:2$, считая от луча $CD$. Это значит, что $\angle DCF : \angle FCB = 1:2$.

Пусть $\angle DCF = x$, тогда $\angle FCB = 2x$. В сумме они составляют угол $\angle DCB$:
$x + 2x = 90^\circ$
$3x = 90^\circ$
$x = 30^\circ$

Следовательно, $\angle DCF = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FDC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\angle CDA = 90^\circ$. Угол $\angle FDC$ является смежным с углом, который является частью прямой линии $FAD$, поэтому угол при вершине $D$ в этом треугольнике прямой: $\angle FDC = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle FDC$ — прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике нам известны:

• Катет $CD = 4$ см (сторона квадрата).
• Угол $\angle DCF = 30^\circ$.

Мы ищем гипотенузу $CF$. В прямоугольном треугольнике косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\angle DCF) = \frac{CD}{CF}$

Подставим известные значения:$\cos(30^\circ) = \frac{4}{CF}$

Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{CF}$

Выразим отсюда $CF$:$CF = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$CF = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

53. Постройте квадрат по его периметру.

53. Постройте квадрат по его периметру.

Для построения квадрата по его периметру необходимо сначала найти длину стороны квадрата, а затем построить сам квадрат с найденной стороной. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ

Периметр квадрата $P$ связан с его стороной $a$ формулой $P = 4a$. Следовательно, чтобы найти сторону квадрата, нужно разделить его периметр на 4: $a = P/4$.Таким образом, задача сводится к двум шагам:
1. Построить отрезок, равный четверти длины данного отрезка (периметра).
2. Построить квадрат на полученном отрезке (стороне).

Построение

Пусть нам дан отрезок $MN$, длина которого равна периметру $P$ будущего квадрата.

1. Нахождение стороны квадрата.
   Чтобы найти отрезок, равный $P/4$, нужно дважды разделить данный отрезок пополам.
   • Построим серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Для этого из точек $M$ и $N$ проведем две дуги окружности с одинаковым радиусом (большим половины длины $MN$) так, чтобы они пересеклись с двух сторон от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, разделит отрезок $MN$ в точке $K$ пополам. Длина отрезка $MK$ равна $P/2$.
   • Аналогично построим серединный перпендикуляр к отрезку $MK$. Он разделит его в точке $L$ пополам. Длина отрезка $ML$ будет равна $(P/2)/2 = P/4$. Это и есть искомая сторона квадрата $a$.
2. Построение квадрата.
   Теперь построим квадрат со стороной, равной длине отрезка $ML$.
   • На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный отрезку $ML$, с помощью циркуля. Это будет первая сторона квадрата.
   • В точке $A$ восставим перпендикуляр к прямой $AB$. Для этого из точки $A$ проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Из этих точек проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна $AB$.
   • На этом перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный $AB$ (используя циркуль с раствором, равным длине $ML$).
   • Из точки $B$ проведем дугу окружности с радиусом $AB$.
   • Из точки $D$ проведем дугу окружности с радиусом $AD$.
   • Точка пересечения этих двух дуг будет четвертой вершиной квадрата, обозначим ее $C$.
   • Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученная фигура $ABCD$ является искомым квадратом, так как все его стороны по построению равны $a = P/4$, а один из углов ( $\angle DAB$ ) прямой, что гарантирует, что все остальные углы также будут прямыми.

Ответ: Квадрат $ABCD$, построенный по вышеописанному алгоритму, является искомым, так как его сторона равна четверти заданного периметра, а все углы — прямые.

54. Найдите средние линии треугольника, если его стороны равны 8 см, 14 см и 18 см.

54. Найдите средние линии треугольника, если его стороны равны 8 см, 14 см и 18 см.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Поскольку у треугольника три стороны, у него есть три средние линии.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

$a = 8$ см

$b = 14$ см

$c = 18$ см

Найдем длину каждой из трех средних линий, которые обозначим как $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно.

1. Средняя линия, параллельная стороне $a=8$ см, имеет длину:

$m_a = \frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

2. Средняя линия, параллельная стороне $b=14$ см, имеет длину:

$m_b = \frac{1}{2} \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

3. Средняя линия, параллельная стороне $c=18$ см, имеет длину:

$m_c = \frac{1}{2} \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Таким образом, длины средних линий треугольника составляют 4 см, 7 см и 9 см.

Ответ: 4 см, 7 см, 9 см.

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 1 см, 5 см и 7 см?

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 1 см, 5 см и 7 см?

Для того чтобы три отрезка могли быть средними линиями треугольника, они должны удовлетворять условию, которое следует из свойства средних линий и неравенства треугольника.

Способ 1: Через стороны исходного треугольника

Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны. Если средние линии равны 1 см, 5 см и 7 см, то стороны исходного треугольника ($a, b, c$) должны быть в два раза больше:

• $a = 2 \cdot 1 = 2$ см
• $b = 2 \cdot 5 = 10$ см
• $c = 2 \cdot 7 = 14$ см

Теперь проверим, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить это условие для двух меньших сторон и одной большей:

$a + b > c$

$2 \text{ см} + 10 \text{ см} > 14 \text{ см}$

$12 \text{ см} > 14 \text{ см}$

Это неравенство неверно. Следовательно, треугольник со сторонами 2 см, 10 см и 14 см существовать не может.

Способ 2: Через треугольник, образованный средними линиями

Три средние линии треугольника образуют новый, так называемый срединный треугольник. Поэтому сами длины средних линий должны удовлетворять неравенству треугольника.

Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 1 см, 5 см и 7 см:

$1 \text{ см} + 5 \text{ см} > 7 \text{ см}$

$6 \text{ см} > 7 \text{ см}$

Это неравенство также неверно. Значит, треугольник со сторонами 1 см, 5 см и 7 см не существует.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: средние линии треугольника не могут иметь указанные длины.

Ответ: не могут.

56. Периметр треугольника равен 18 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

56. Периметр треугольника равен 18 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Его периметр $P_{исх}$ по определению равен сумме длин всех его сторон: $P_{исх} = a + b + c$.

По условию задачи, периметр данного треугольника равен 18 см: $a + b + c = 18$ см.

Новый треугольник образован отрезками, соединяющими середины сторон данного треугольника. Эти отрезки являются средними линиями исходного треугольника.

По теореме о средней линии треугольника, длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, стороны нового треугольника будут равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Найдем периметр нового треугольника $P_{нов}$, сложив длины его сторон: $P_{нов} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $P_{нов} = \frac{1}{2}(a + b + c)$

Мы знаем, что $(a + b + c)$ — это периметр исходного треугольника, который равен 18 см. Подставим это значение в формулу: $P_{нов} = \frac{1}{2} \times 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

57. Периметр треугольника равен 60 см, а его стороны относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите стороны треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

57. Периметр треугольника равен 60 см, а его стороны относятся как $3 : 5 : 7$. Найдите стороны треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их длины относятся как $3:5:7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом:
$a = 3x$
$b = 5x$
$c = 7x$

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. По условию, периметр $P$ равен 60 см. Составим и решим уравнение:
$P = a + b + c$
$60 = 3x + 5x + 7x$
$60 = 15x$
$x = \frac{60}{15}$
$x = 4$

Теперь мы можем найти длины сторон исходного треугольника:
$a = 3 \cdot 4 = 12$ см
$b = 5 \cdot 4 = 20$ см
$c = 7 \cdot 4 = 28$ см

Далее нам нужно найти стороны треугольника, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника. Стороны нового треугольника являются средними линиями исходного. По свойству средней линии треугольника, она параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Найдем длины сторон нового треугольника, обозначив их $a'$, $b'$ и $c'$:
$a' = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см
$b' = \frac{b}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см
$c' = \frac{c}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 10 см и 14 см.